Problema da autodidatta con equazione logaritmica

[sabrinas1]

Buonasera matematici . Come si intuisce dal titolo mi sto avvicinando da autodidatta alla matematica. Frequento la terza del liceo linguistico... . Mi sono scontrata in un po' di problemi per quanto riguarda un paio di equazioni logaritmiche, tra cui
\( \sqrt{log_{2}x^{4}}+4log_{2}\sqrt{\frac{2}{x}}=2 \)
ho provato in vari modi
\( \sqrt{log_{2}x^{4}}+log_{2}\sqrt\frac{2}{x}^{4}=2 \)
\( \sqrt{log_{2}x^{4}}+2-log_{2}x^{2}=2 \)
dunque chiamando \( log_{2}x^{2}=t \)
ottengo \( t-t=0 \)
e dunque \( 2^{0}=x^{2} \)

il che mi pare poco probabile, considerando che i risultati del libro sono 2 e 1.

Ho riportato i passaggi così dettagliatamente non tanto per poca fiducia -e ci mancherebbe altro!- quanto piuttosto perchè possiate consigliarmi al meglio.
Grazie per l'attenzione!

[Gi81]

Premessa: hai dimenticato le codizioni di esistenza, che sono $x>=1$.

Se $t:=log_2(x^2)$, non è vero che $sqrt (log_2 (x^4))=t$
Infatti, $log_2 (x^4) = log_2 ((x^2)^2)= 2 log_2 (x^2)= 2t$,
pertanto $sqrt (log_2 (x^4)) = sqrt(2t)$

Dunque l'equazione da risolvere è $sqrt(2t)-t=0 => sqrt(2t)= t => 2t = t^2 => t=0 vv t=2$

Qui come avrei fatto io:

l'equazione è $sqrt(log_2(x^4))+4 log_2 (sqrt(2/x))=2$

Condizioni di esistenza: ${(x^4>0),(log_2(x^4)>=0),(2/x>=0),(sqrt(2/x)>0):}=> {(x!=0),(x^4>=1),(x>0),(x>0):}=> x>=1$

Ora semplifico i termini che compaiono nell'equazione, sfruttando le proprietà dei logaritmi:
1) $sqrt(log_2(x^4))= sqrt(4 log_2 (x)) = sqrt4 * sqrt( log_2 (x))= 2 *sqrt( log_2 (x))$
2) $4 log_2 (sqrt(2/x)) = 4/2 log_2 (2/x)= 2 (log_2 (2) -log_2 (x) ) = 2 (1-log_2(x))$

Quindi l'equazione diventa $2 *sqrt( log_2 (x)) + 2 (1-log_2(x))=2$, cioè
$sqrt( log_2 (x)) +1-log_2(x) = 1 => sqrt( log_2 (x)) = log_2(x)$
Posto $y:= log_2(x)$, si ha $sqrty = y=> y= y^2 => y=0 vv y=1 => log_2(x)= 0 vv log_2(x)=1 => x=1 vv x=2$

[sabrinas1]

Grazie mille!