PROBLEMA CONICHE (CON K)
Come dice il titolo, c'è un tipo di esercizio col k che non riesco a fare.
Mi chiede di dare un valore di k affinchè l'equazione
x^2/k+6 + y^2/2 - 3k = 1
rappresenti:
1) un elisse
2) una circonferenza
3) un'iperbole
3) iperbole con i fuochi sull'asse x
4) iperbole fuochi asse y
5) iperbole fuochi asse y che ha distanza focale uguale a 4.
Ora tralasciando l'esercizio in questione, non vorrei la sola soluzione, vorrei anche capire ogni caso.. in modo da essere autonomo per la risoluzione di qualsiasi altro esercizio simile.
Spero di non chiedere troppo, ma la prof ne ha assegnati diversi e non so come procedere. Potreste aiutarmi? ^^"
Aggiunto 20 ore 7 minuti più tardi:
Perchè k deve essere uguale a zero? Il punto è che anche se conosco l'equazione dell'elisse non so quale dovrebbe essere il valore "degli a" e "degli b". Nel mio caso, insomma, non so che valori dovrei dare a k+6 (a) e 2-3k (b). Il punto è quello! E poi il coefficiente di x^2 è sempre uno, nell'elisse e nell'iperbole, devo giocarmela sui denominatori!
Un po' più chiari no?
Mi chiede di dare un valore di k affinchè l'equazione
x^2/k+6 + y^2/2 - 3k = 1
rappresenti:
1) un elisse
2) una circonferenza
3) un'iperbole
3) iperbole con i fuochi sull'asse x
4) iperbole fuochi asse y
5) iperbole fuochi asse y che ha distanza focale uguale a 4.
Ora tralasciando l'esercizio in questione, non vorrei la sola soluzione, vorrei anche capire ogni caso.. in modo da essere autonomo per la risoluzione di qualsiasi altro esercizio simile.
Spero di non chiedere troppo, ma la prof ne ha assegnati diversi e non so come procedere. Potreste aiutarmi? ^^"
Aggiunto 20 ore 7 minuti più tardi:
Perchè k deve essere uguale a zero? Il punto è che anche se conosco l'equazione dell'elisse non so quale dovrebbe essere il valore "degli a" e "degli b". Nel mio caso, insomma, non so che valori dovrei dare a k+6 (a) e 2-3k (b). Il punto è quello! E poi il coefficiente di x^2 è sempre uno, nell'elisse e nell'iperbole, devo giocarmela sui denominatori!
Un po' più chiari no?
Risposte
In poche parole devi ragionare in questo modo: l'ellisse che equazione ha? Ti prendi l'equazione dell'ellisse e vedi che valore deve avere k affinchè l'equazione sia quella di un ellisse :D Per esempio nel tuo caso penso che K=0 possa andare bene :D
Poi per esempio per una circonferenza sai che il coefficiente di
Aggiunto 1 giorni più tardi:
Per coefficiente di
Quindi a te interessa che la tua equazione al variare di k, per essere un elisse, sia simile a quella che ho scritto sopra! Per esserlo basta che k sia uguale a zero! Se k=0 avrai una equazione:
e dovrebbe essere l'equazione di un ellisse!..
Per la circonferenza:
L'equazione di una circonferenza generica è:
Nella tua equazione mancano x e y, quindi (se vuoi), puoi riscrivere la tua circonferenza generica come:
Nella tua equazione, a te non importa che valore abbia c (può avere qualsiasi valore), la cosa che ti importa è che
Per fare diventare il coefficinete di
Adesso deve imporre che anche il coefficinte di
L'equazione della tua circonferenza sarà (sostituendo k=-4):
Per il resto devi ragionare in modo analogo :D
Aggiunto 10 minuti più tardi:
Ps.. Se però tu non sai scrivere l'equazione non è colpa mia.. rileggendo la tua risposta forse ho inteso che la tua equazione di partenza è:
Io invece avevo considerato l'equazione:
Comunque, devi ragionare sempre allo stesso modo! In questo caso la variazione di k non ti cambia l'uno! Quindi k può assumere qualsiasi valore! Devi però imporre che (visto che il denominatore di
Poi per esempio per una circonferenza sai che il coefficiente di
[math]x^2[/math]
deve essere uguale ad uno e allora devi imporre che [math]\frac{2}{k+6}=1[/math]
e così via :DAggiunto 1 giorni più tardi:
Per coefficiente di
[math] x^2 [/math]
si intende tutto il numero che gli sta davanti! Nel tuo caso il coefficiente è [math] \frac{1}{k+6}[/math]
! Se poi parli di numeratore e denominatore è un altro discorso! Per quel che riguarda l'elisse sai che l'equazione deve essere:[math] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]
Quindi a te interessa che la tua equazione al variare di k, per essere un elisse, sia simile a quella che ho scritto sopra! Per esserlo basta che k sia uguale a zero! Se k=0 avrai una equazione:
[math] \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1[/math]
e dovrebbe essere l'equazione di un ellisse!..
Per la circonferenza:
L'equazione di una circonferenza generica è:
[math] 1x^2+1y^2+ax+by+c=0[/math]
Nella tua equazione mancano x e y, quindi (se vuoi), puoi riscrivere la tua circonferenza generica come:
[math] 1x^2+1y^2+c=0[/math]
Nella tua equazione, a te non importa che valore abbia c (può avere qualsiasi valore), la cosa che ti importa è che
[math] x^2 e y^2[/math]
abbiano coefficienti uguale ad uno.Per fare diventare il coefficinete di
[math] y^2=1[/math]
, ti basta moltiplicare la tua equazione per 2, e diventa: [math]\frac{2x^2}{k+6} + y^2 - 6k = 2[/math]
Adesso deve imporre che anche il coefficinte di
[math]x^2[/math]
sia uguale ad uno, e cioè devi imporre che:[math]\frac{2}{k+6}=1[/math]
da cui [math]k=-4[/math]
.L'equazione della tua circonferenza sarà (sostituendo k=-4):
[math]x^2+y^2+22=0[/math]
Per il resto devi ragionare in modo analogo :D
Aggiunto 10 minuti più tardi:
Ps.. Se però tu non sai scrivere l'equazione non è colpa mia.. rileggendo la tua risposta forse ho inteso che la tua equazione di partenza è:
[math]\frac{x^2}{k+6} + \frac{y^2}{2 - 3k} = 1 [/math]
Io invece avevo considerato l'equazione:
[math]\frac{x^2}{k+6} + \frac{y^2}{2} -3k = 1 [/math]
!...Comunque, devi ragionare sempre allo stesso modo! In questo caso la variazione di k non ti cambia l'uno! Quindi k può assumere qualsiasi valore! Devi però imporre che (visto che il denominatore di
[math]x^2 e y^2[/math]
è positivo) il denominatore di [math]x^2 e y^2[/math]
sia maggiore di zero: cioè k+6>0 e 2-3k>0 .Queste due disequazioni le devi mettere ad intersezione!
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