Problema con valori assoluti e principio di Induzione

[Dezzo93_it]

Devo dimostrare per casa che:

[tex]|x_1+x_2+\ldots +x_n|\leq|x_1|+|x_2|+\ldots +|x_n|[/tex]

Io ho provato col principio di induzione matematica, cioè:

[tex]p(1):|x_1|\leq|x_1|[/tex]
E' ovvia ([tex]|x_1|=|x_1|[/tex])

Supposta vera per [tex]n[/tex] ora devo dimostrarla per [tex]n+1[/tex], ossia..
[tex]p(k):|x_1+x_2+\ldots +x_n+x_k|\leq|x_1|+|x_2|+\ldots +|x_n|+|x_k|[/tex] con [tex]k=n+1[/tex] (come si fa a mettere un pedice di più di una lettera? )

Per togliere i valori assoluti ho elevato entrambi i membri al quadrato, ossia:
[tex]x_1^2+x_2^2+\ldots +x_n^2+x_k^2+2(x_1x_2+x_2x_3+\ldots +x_nx_k)\leq[/tex]
[tex]\leq x_1^2+x_2^2+\ldots +x_n^2+x_k^2+2(|x_1||x_2|+|x_2||x_3|+\ldots +|x_n||x_k|)[/tex]

Ora i primi termini sono uguali, rimane pertanto da dimostrare l'uguaglianza
[tex]x_1x_2+x_2x_3+\ldots +x_nx_k \leq |x_1||x_2|+|x_2||x_3|+\ldots +|x_n||x_k|[/tex]

E qui finisce il mio lavoro.... potreste darmi una mano voi adesso? qualche suggerimento

[Sk_Anonymous]

La seguente è facilmente dimostrabile:

$|x_1+x_2|<=|x_1|+|x_2|$

Quindi, se per ipotesi:

$|x_1+x_2+...+x_n|<=|x_1|+|x_2|+...+|x_n|$

allora:

$|x_1+x_2+...+x_n+x_(n+1)|<=|x_1+x_2+...+x_n|+|x_(n+1)|<=|x_1|+|x_2|+...+|x_n|+|x_(n+1)|$

[Dezzo93_it]

Grazie mille! e io che mi ostinavo a fare passaggi chissà che astrusi!!

[Sk_Anonymous]

Per questa volta ti perdoniamo.

[Dezzo93_it]

"speculor":Per questa volta ti perdoniamo.

Grazie