Problema con una successione numerica.
Ciao a tutti 
Vorrei chiedervi di aiutarmi a risolvere questo problema:
Ho la seguente successione numerica:
A1 $ 15/16 $ A2 $ 30/34 $ A3 $ 45/54 $ A4 $ 60/76 $
Da qui, dopo vari calcoli (sicuramente corretti perché controllati più volte) trovo la relazione che dato n permette di trovare An: $ An = 15/(16 + n - 1) $ . So che tra un termine e l'altro della successione, avviene un passaggio costante (come se tra A1 e A2 ci fosse un termine A1,5 e ancora A1,25 ecc.). A me serve calcolare il rapporto tra un parametro, che chiamerò B, e An:
$ R = B/[15/(16 + n - 1)] $ quindi la relazione che mi interessa dopo alcune semplificazioni è : $ R = B[(16 + n - 1)/15] $ .
Posso sostituire (l'ho già dimostrato) n con $ B/15 $ ---> $ R = B[(16 + B/15 -1)/15] $
Quindi visto il passaggio costante tra i termini posso eliminare la condizione "B/15 deve appartenere all'insieme N?" (anche n apparteneva ad N). Se lo faccio ottengo dei risultati corretti, ma come posso dimostrarlo matematicamente?
Grazie a tutti in anticipo, se non sono stato abbastanza chiaro vi posterò il testo del problema e la mia soluzione più dettagliata (o almeno la mia soluzione fino a questo punto
).
Ciao!
Vorrei chiedervi di aiutarmi a risolvere questo problema:
Ho la seguente successione numerica:
A1 $ 15/16 $ A2 $ 30/34 $ A3 $ 45/54 $ A4 $ 60/76 $
Da qui, dopo vari calcoli (sicuramente corretti perché controllati più volte) trovo la relazione che dato n permette di trovare An: $ An = 15/(16 + n - 1) $ . So che tra un termine e l'altro della successione, avviene un passaggio costante (come se tra A1 e A2 ci fosse un termine A1,5 e ancora A1,25 ecc.). A me serve calcolare il rapporto tra un parametro, che chiamerò B, e An:
$ R = B/[15/(16 + n - 1)] $ quindi la relazione che mi interessa dopo alcune semplificazioni è : $ R = B[(16 + n - 1)/15] $ .
Posso sostituire (l'ho già dimostrato) n con $ B/15 $ ---> $ R = B[(16 + B/15 -1)/15] $
Quindi visto il passaggio costante tra i termini posso eliminare la condizione "B/15 deve appartenere all'insieme N?" (anche n apparteneva ad N). Se lo faccio ottengo dei risultati corretti, ma come posso dimostrarlo matematicamente?
Grazie a tutti in anticipo, se non sono stato abbastanza chiaro vi posterò il testo del problema e la mia soluzione più dettagliata (o almeno la mia soluzione fino a questo punto
).Ciao!
Risposte
Ti faccio notare che $16+n-1=15+n$. Inoltre a me risulta che la serie sia $15n/(15n+n^2)$ dove n aumenta, per es in A1 n=1 e A2 n=2
Ciao
Ciao
Scusa, ma ho detto che questa NON è la soluzione dettagliata, per cui ho sostituito alcune variabili con dei valori noti, come appunto 16 (che è il primo denominatore della successione e può variare insieme il valore degli altri) e la formula $ An = 15/(16 + n - 1) $ ne tiene conto, mentre $ 15*(n/(15n+n^2)) $ no. A parte ciò è esattamente uguale alla tua (basta raccogliere n portare il 15 a numeratore, e considerare il 16 come costante...). $ 15*(n/(15n+n^2)) = 15*(n/(n(15+n))) = 15/(15+n) = 15/(16 + n - 1) $.
Per quanto riguarda la domanda hai qualche idea?
Per quanto riguarda la domanda hai qualche idea?
La domanda è poco chiara; rispondo per quanto ne ho capito.
Se hai dimostrato che $B/15=n$ e se $n$ è un numero naturale, è ovvio che lo è anche $B/15$.
Se ammetti che $n$ possa avere anche valori non interi, allora non stai considerando la successione $a_n=15/(n+15)$ ma la funzione $f(x)=15/(x+15)$; in questo caso hai (forse) $B/15=x$, non necessariamente intero.
Se hai dimostrato che $B/15=n$ e se $n$ è un numero naturale, è ovvio che lo è anche $B/15$.
Se ammetti che $n$ possa avere anche valori non interi, allora non stai considerando la successione $a_n=15/(n+15)$ ma la funzione $f(x)=15/(x+15)$; in questo caso hai (forse) $B/15=x$, non necessariamente intero.
Ciao, è proprio questo che intendo; conoscendo soltanto alcuni valori notevoli (quelli della successione) e sapendo che i valori intermedi variano in modo costante, è possibile "estendere" la relazione trovata tramite la successione $ An $ alla relazione $ f(x)=... $ ? Oppure è possibile che anche se i valori variano costantemente non siano descritti da questa?
Grazie
Grazie
Una successione ti dà alcuni valori, equispaziati, di una funzione, ma non sai cosa succede fra loro. Considera ad esempio
$f(x)=x+3sin(2pix)$
In questo caso hai $a_n=f(n)=n+3sin(2pin)=n$: quindi $a_1=1, a_2=2$
Però $f(1,25)=f(5/4)=5/4+3sin((5pi)/2)=5/4+3sin(2pi+pi/2)=1,25+3=4,25$.
$f(x)=x+3sin(2pix)$
In questo caso hai $a_n=f(n)=n+3sin(2pin)=n$: quindi $a_1=1, a_2=2$
Però $f(1,25)=f(5/4)=5/4+3sin((5pi)/2)=5/4+3sin(2pi+pi/2)=1,25+3=4,25$.
Ho trovato un modo per formulare meglio la mia domanda (ripartendo dall'inizio):
ho una successione costituita da rapporti tra due numeri naturali,
A) a1=15/16, a2=30/34, a3=45/54,... (non semplifico le frazioni perché devo ricavare un caso più generico possibile),
so che il numeratore di ogni rapporto (15,30,45) può "addensando" la successione, assumere valori reali:
B) a1=15/16, a2=15,5/b, a3=46/b, ..., a10=45/54,...
So che la successione A è governata dalla seguente legge: $ an=15/(15+n) $
Domanda: A questo punto, anche la successione B risponderà a questa equazione?
Grazie a tutti, questa è la mia ultima domanda su questo argomento, sia che vada a buon fine che non, chiuderò subito dopo questo post.
ho una successione costituita da rapporti tra due numeri naturali,
A) a1=15/16, a2=30/34, a3=45/54,... (non semplifico le frazioni perché devo ricavare un caso più generico possibile),
so che il numeratore di ogni rapporto (15,30,45) può "addensando" la successione, assumere valori reali:
B) a1=15/16, a2=15,5/b, a3=46/b, ..., a10=45/54,...
So che la successione A è governata dalla seguente legge: $ an=15/(15+n) $
Domanda: A questo punto, anche la successione B risponderà a questa equazione?
Grazie a tutti, questa è la mia ultima domanda su questo argomento, sia che vada a buon fine che non, chiuderò subito dopo questo post.
Non riesco a capire con quale criterio formi la successione B (ad evitare equivoci, consiglio di chiamare $b_i$ i suoi termini) e quindi la risposta è "dipende". Senz'altro puoi formarla in modo che la formula valga anche per $n$ non intero, solo che in questo caso si chiama funzione e non successione (che per definizione deve avere indici interi); puoi però anche formarla con altri criteri e la formula non varrebbe.
La principale distinzione fra successione e funzione é che nella prima possiamo dire qual è il primo, il secondo, eccetera termine; nella seconda no. Consideriamo ad esempio la successione $a_n=n+5$: avremo $a_1=6, a_2=7, ...$. Pensiamo ora di dare ad $n$ valori non interi: chi è $a_2$? Corrisponde ad $n=1,5$, o $n=1,1$, o $n=1,0001$, o altro? A questa domanda non si può rispondere e quindi non numeriamo i termini; invece di usare indici scriviamo $f(n)=n+5$ ed è una funzione.
La principale distinzione fra successione e funzione é che nella prima possiamo dire qual è il primo, il secondo, eccetera termine; nella seconda no. Consideriamo ad esempio la successione $a_n=n+5$: avremo $a_1=6, a_2=7, ...$. Pensiamo ora di dare ad $n$ valori non interi: chi è $a_2$? Corrisponde ad $n=1,5$, o $n=1,1$, o $n=1,0001$, o altro? A questa domanda non si può rispondere e quindi non numeriamo i termini; invece di usare indici scriviamo $f(n)=n+5$ ed è una funzione.
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