Problema con una successione
data la successione {an}=sqr(2n-7)-sqr(2n-3) trovare p, tale che per n maggiore o uguale p sia |an|minore o uguale 10^-10
meglio di così non sono riuscito a scriverla, comunque ho verificato che è una successione crescente e che è limitata superiormente (tutti i termini della successione sono negativi) e, se non ho sbagliato, il limite per n che tende a +infinito è 0.
ho provato a risolvere la disequazione |an|< epsilon, ma non riesco a risolvere il problema.
Grazie a chi può darmi un aiuto
meglio di così non sono riuscito a scriverla, comunque ho verificato che è una successione crescente e che è limitata superiormente (tutti i termini della successione sono negativi) e, se non ho sbagliato, il limite per n che tende a +infinito è 0.
ho provato a risolvere la disequazione |an|< epsilon, ma non riesco a risolvere il problema.
Grazie a chi può darmi un aiuto
Risposte
Naturalmente deve essere $n>=4$, altrimenti $a_n$ non esiste.
La tua idea della disequazione è giusta e la si risolve facilmente: bastano due elevazioni a quadrato, lecite perché entrambi i membri sono positivi. Poiché, come tu stesso dici, i termini della successione sono negativi per averne il valore assoluto basta cambiarne il segno: la disequazione è quindi
$sqrt(2n-3)-sqrt(2n-7)<=epsilon$
$sqrt(2n-3)<=sqrt(2n-7)+epsilon$
$2n-3<=2n-7+epsilon^2+2epsilon sqrt(2n-7)$
$4-epsilon^2<=2epsilon sqrt(2n-7)$
$16-8epsilon^2+epsilon^4<=4epsilon^2(2n-7)$
$n>=(16+20epsilon^2+epsilon^4)/(8epsilon^2)$
Posto $epsilon=10^(-10)$ e trascurando a numeratore i termini più piccoli si ha quindi circa
$n>16/(8*10^(-20))=2*10^20" "$ (in realtà, un po' di più))
Se clicchi su CITA ti compare quello che ho digitato, così puoi vedere come ho realizzato le varie scritture.
La tua idea della disequazione è giusta e la si risolve facilmente: bastano due elevazioni a quadrato, lecite perché entrambi i membri sono positivi. Poiché, come tu stesso dici, i termini della successione sono negativi per averne il valore assoluto basta cambiarne il segno: la disequazione è quindi
$sqrt(2n-3)-sqrt(2n-7)<=epsilon$
$sqrt(2n-3)<=sqrt(2n-7)+epsilon$
$2n-3<=2n-7+epsilon^2+2epsilon sqrt(2n-7)$
$4-epsilon^2<=2epsilon sqrt(2n-7)$
$16-8epsilon^2+epsilon^4<=4epsilon^2(2n-7)$
$n>=(16+20epsilon^2+epsilon^4)/(8epsilon^2)$
Posto $epsilon=10^(-10)$ e trascurando a numeratore i termini più piccoli si ha quindi circa
$n>16/(8*10^(-20))=2*10^20" "$ (in realtà, un po' di più))
Se clicchi su CITA ti compare quello che ho digitato, così puoi vedere come ho realizzato le varie scritture.
Puoi "srazionalizzare" e usare un po' di trucchi.
Hai:
$ a_n = sqrt(2n -3) - sqrt(2n -7) = (2n-3-(2n-7))/(sqrt(2n -3) + sqrt(2n -7)) = 4/(sqrt(2n -3) + sqrt(2n -7)) <= 4/(2sqrt(2n -7)) = 2/(sqrt(2n-7)) = sqrt (4/(2n-7)) $
dunque, se ti serve $a_n < varepsilon$, ti basta scegliere $n$ in modo che risulti:
$sqrt (4/(2n-7)) < varepsilon => n > 2/varepsilon^2 +7/2$.
Il valore di $n$ che ti serve lo ottieni prendendo $varepsilon = 10^(-10)$ e scegliendo uno qualsiasi degli indici $n$ che soddisfano l'ultima disuguaglianza precedente.
Hai:
$ a_n = sqrt(2n -3) - sqrt(2n -7) = (2n-3-(2n-7))/(sqrt(2n -3) + sqrt(2n -7)) = 4/(sqrt(2n -3) + sqrt(2n -7)) <= 4/(2sqrt(2n -7)) = 2/(sqrt(2n-7)) = sqrt (4/(2n-7)) $
dunque, se ti serve $a_n < varepsilon$, ti basta scegliere $n$ in modo che risulti:
$sqrt (4/(2n-7)) < varepsilon => n > 2/varepsilon^2 +7/2$.
Il valore di $n$ che ti serve lo ottieni prendendo $varepsilon = 10^(-10)$ e scegliendo uno qualsiasi degli indici $n$ che soddisfano l'ultima disuguaglianza precedente.
Mi piace la soluzione di gugo82 perché richiede pochi calcoli; il difetto è che dà un valore lievemente superiore allo stretto necessario. Infatti nella soluzione esatta compare
$(16+20epsilon^2+epsilon^4)/(8 epsilon^2)=2/epsilon^2+20/8+epsilon^2/8$
Il primo addendo è quello che ho calcolato; il secondo addendo vale $5/2=2.5$ e va arrotondato all'intero perché tale è $n$; il terzo addendo è trascurabile. La risposta finale è quindi
$p=2*10^20+3$
$(16+20epsilon^2+epsilon^4)/(8 epsilon^2)=2/epsilon^2+20/8+epsilon^2/8$
Il primo addendo è quello che ho calcolato; il secondo addendo vale $5/2=2.5$ e va arrotondato all'intero perché tale è $n$; il terzo addendo è trascurabile. La risposta finale è quindi
$p=2*10^20+3$
@giammaria: Ovvio che il mio calcolo dia un $p$ un po' maggiore del necessario (cioè di quello ottenuto risolvendo esplicitamente le disequazioni, come fatto da te)...
Infatti, mentre i tuoi calcoli forniscono, a guardarli bene, un valore di $p$ tale che $n>p$ sia condizione necessaria e sufficiente affinché $a_n < varepsilon$, il mio metodo (basato su una maggiorazione della successione assegnata) fornisce solo un $p'$ tale che $n>p'$ sia condizione sufficiente affinché valga la disuguaglianza $a_n
Quindi il tuo metodo ha di buono che riesce ad individuare il valore "ottimale" di $p$, cioè il più piccolo dei numeri $p$ che fanno il servizio richiesto dalla traccia (e di cattivo la necessità di risolvere disequazioni irrazionali); mentre il mio metodo ha di buono la facilità dei calcoli (e di cattivo che fornisce un numero $p'$ buono allo scopo che però può non essere il valore "ottimale", anzi, in generale è molto più grande del necessario).
Infatti, mentre i tuoi calcoli forniscono, a guardarli bene, un valore di $p$ tale che $n>p$ sia condizione necessaria e sufficiente affinché $a_n < varepsilon$, il mio metodo (basato su una maggiorazione della successione assegnata) fornisce solo un $p'$ tale che $n>p'$ sia condizione sufficiente affinché valga la disuguaglianza $a_n
Quindi il tuo metodo ha di buono che riesce ad individuare il valore "ottimale" di $p$, cioè il più piccolo dei numeri $p$ che fanno il servizio richiesto dalla traccia (e di cattivo la necessità di risolvere disequazioni irrazionali); mentre il mio metodo ha di buono la facilità dei calcoli (e di cattivo che fornisce un numero $p'$ buono allo scopo che però può non essere il valore "ottimale", anzi, in generale è molto più grande del necessario).
@danielem, hai capito? Quello che ha fatto giammaria è una canonica risoluzione di una disequazione, nulla di difficile, spero. È importante però che tu comprenda anche quello che ha fatto gugo82.
Ringrazio gugo82, giammaria e indrio dedej. Siete stati molto chiari e disponibili.
Io non ho fatto niente. Ti ho solo fatto una domanda. E qual è la risposta? Hai capito? O no? È importante. Non per me, gugo e giammaria, ma per te.
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