Problema con una sommatoria.
Salve, ho qualche difficoltà a comprendere un passaggio nella dimostrazione della formula del trapezio per l'integrazione numerica.
Il passaggio è il seguente: $ hsum_(i=1)^N (y_(i-1)+y_i)/2=1/2h[y_0 +sum_(i=1)^(N-1) (2y_i +y_N)] $
Io ho provato ad eseguire una Riflessione di indici, ma il fatto che l'indice della sommatoria restava 1, non riuscivo ad andare avanti. Se qualcuno mi aiutasse a capire questo passaggio, mi farebbe un grande piacere.
Vi ringrazio.
Il passaggio è il seguente: $ hsum_(i=1)^N (y_(i-1)+y_i)/2=1/2h[y_0 +sum_(i=1)^(N-1) (2y_i +y_N)] $
Io ho provato ad eseguire una Riflessione di indici, ma il fatto che l'indice della sommatoria restava 1, non riuscivo ad andare avanti. Se qualcuno mi aiutasse a capire questo passaggio, mi farebbe un grande piacere.
Vi ringrazio.
Risposte
Secondo me c'è un errore: $y_N$ non può fare parte della seconda sommatoria.
Il passaggio corretto dovrebbe essere questo: $ hsum_(i=1)^N (y_(i-1)+y_i)/2=1/2h[y_0 +(sum_(i=1)^(N-1) 2y_i) +y_N] $
Infatti $sum_{i=1}^N (y_{i-1}+y_i) = (y_0+y_1)+(y_1+y_2)+(y_2+y_3)+...+(y_{N-2}+y_{N-1})+(y_{N-1}+y_N)$
Come si può vedere, per ogni $i =1,...,N-1$ compare due volte $y_i$.
Invece $y_0$ e $y_n$ compaiono solo una volta.
Un altro modo equivalente è questo: $h[(y_0+y_N)/2 +sum_{i=1}^{N-1} y_i]$
Il passaggio corretto dovrebbe essere questo: $ hsum_(i=1)^N (y_(i-1)+y_i)/2=1/2h[y_0 +(sum_(i=1)^(N-1) 2y_i) +y_N] $
Infatti $sum_{i=1}^N (y_{i-1}+y_i) = (y_0+y_1)+(y_1+y_2)+(y_2+y_3)+...+(y_{N-2}+y_{N-1})+(y_{N-1}+y_N)$
Come si può vedere, per ogni $i =1,...,N-1$ compare due volte $y_i$.
Invece $y_0$ e $y_n$ compaiono solo una volta.
Un altro modo equivalente è questo: $h[(y_0+y_N)/2 +sum_{i=1}^{N-1} y_i]$
Adesso è chiaro, grazie infinite 
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