Problema con un integrale definito

[FemtoGinny]

Buona gelida giornata forum ^^ stamattina facendo esercizi mi sono imbattuta in questo integrale all'apparenza semplice ma del quale non riesco proprio a venire a capo $ int_(0)^(x) e^(t^2) dt $ ho provato per sostituzione ma mi complica troppo i calcoli, e neanche il calcolo della primitiva ha funzionato...qualcuno può spiegarmi?

[donald_zeka]

Non esiste una primitiva di quella funzione esprimibile come funzioni elemenatari

[FemtoGinny]

Allora qual'è la retta via?

[donald_zeka]

Dipende, cosa chiede l'esercizio?

[FemtoGinny]

Di risolvere l'integrale!

[donald_zeka]

Risolvere può significare molte cose...non so, forse chiede di studiare la funzione integrale, di calcolare l'integrale improprio, vedere se converge o diverge...insomma...

[FemtoGinny]

Nel concreto è un vero-falso che dice: siano $ f(x)=1-cos(x) $ e $ g(x)= int_(0)^(x) e^(t^2) dt $ bisogna dire se
1) $ lim_(x -> o) f(x)/g(x)=0 $ VERO O FALSO
2) $ lim_(x -> o) (f(x)-x)/g(x)=0 $ VERO O FALSO
3) $ lim_(x -> o) f(1/x)/g(1/x)=0 $ VERO O FALSO

[donald_zeka]

Devi applicare Hopital e calcolarti quei limiti

[FemtoGinny]

Aspetta... ma il teorema di de l'Hopital non prevede che la funzione f(x) e g(x) siano derivabili su un intervallo (a,b) ecc ecc.. quindi avrei bisogno della derivata dell'integrale per applicarlo. Ma se prima non calcolo il valore dell'integrale definito (questo intendevo con "risolverlo, sono stata imprecisa) come faccio a calcolarne la derivata?
Ti ringrazio tanto ^^

[andar9896]

"FemtoGinny": avrei bisogno della derivata dell'integrale per applicarlo

Più o meno come la radice di $x^2$ o il seno dell'arcoseno

[FemtoGinny]

Ahahaha insomma non ho bisogno della derivata dell'integrale...
Allora mi trovo davvero in un vicolo cieco

[andar9896]

Certo che ne hai bisogno, ma è molto facile da calcolare. Anche non conoscendo la primitiva della tua funzione sai che la sua derivata sarà la funzione integranda stessa calcolata tra i due estremi

[FemtoGinny]

Aahahaha ok, insomma la derivata dell'integrale non è quello che mi serve...
allora è davvero un vicolo cieco...

[andar9896]

Scusa ma se devi usare l'Hôpital la derivata serve eccome... io ti ho solo detto che si calcola in modo molto semplice.

Edit: senza dimenticare che parliamo di una funzione composta

[FemtoGinny]

Oi scusami, credevo non mi avesse pubblicato il messaggio per cui l'ho riscritto
Il mio problema però è proprio che non ho ben presente il modo per calcolare l'integranda tra i due estremi, ho tentato ma non ho cavato un ragno dal buco...potresti spiegarmi?

[andar9896]

Certo... ricordando il teorema fondamentale del calcolo integrale, abbiamo che
$int_(a)^(b) f(t) dt = F(b)-F(a)$ .
Se ora volessimo calcolare la derivata dovremmo fare $F'(b)-F'(a)$ no? Ma $F'(b) = f(b)*b'$, dunque ...

[FemtoGinny]

Mannaggia @.@ domando perdono se abuserò della tua pazienza xD però proprio non riesco ad andare avanti, ho davvero tante tante lacune (lagune)...se tu potessi svolgere i passaggi ti sarei davvero molto grata, forse è l'unico modo per capire dato che non riesco ad applicare la teoria all'esercizio

[@melia]

Supponi di conoscere una primitiva di $int e^(t^2) dt$ e che valga $F(t)$, allora
$int_(0)^(x) e^(t^2) dt = F(x) - F(0)$ adesso facciamo la derivata
$D[int_(0)^(x) e^(t^2) dt] = D[F(x) - F(0)] = F'(x) -0$
ma $F(x)$ è una primitiva di $ e^(x^2)$, quindi la derivata di $F(x)$ è $ e^(x^2)$, riassumendo $F'(x)=e^(x^2)$

[FemtoGinny]

Fantastica! Grazie ^^ quindi con questa derivata alla mano, posso finalmente usare Hopital?

[@melia]

Sì.