Problema con questo esercizio sui massimi e minimi

[gio881]

salve sto svolgendo questo esercizio:

$f:[0,3]->R$ $f(x)=sqrt|x-1| - (x/2)$

faccio la derivata per i 2 valori con - e + visto che c'è il valore assoluto

$f'(x)=0$ ----> $x=0$ e $x=2$

$f'(x)= (-1 + sqrt(1-x)) / (2 * sqrt(1-x))$ ------> $ 0
$f'(x)=(1-sqrt(x-1)) / (2* sqrt(x-1))$ --------> $1

svolgendo i calcolo nella prima tra numeratore e denominatore mi viene $x<0$ e $x<1$

nella seconda invece $x<2$ e $x>1$

non riesco ad andare avanti nel senso che nello studio dei segni sono impallato non so regolarmi con i vari segni e quando controllo sul libro i miei tentativi sono sbagliati! qualcuno potrebbe aiutarmi???

ps 1 è un punto di non derivabilità o meglio di cuspide!

[chiaraotta1]

La funzione si può scrivere a tratti come $f(x) = sqrt(1 - x) - x/2$ per $0 <= x < 1$ e $f(x) = sqrt(x - 1) - x/2$ per $1 <= x <= 3$.
Di conseguenza, per $0 <= x < 1$, si ha $f'(x) = (-1 - sqrt(1 - x))/(2 * sqrt(1 - x))$. In questo intervallo il denominatore è $> 0$ e il numeratore è $< 0$. Perciò $f'(x) < 0$.
Invece, per $1 < x <= 3$, $f'(x) = (1 - sqrt(x - 1))/(2 * sqrt(x - 1))$. Anche in questo intervallo il denominatore è $> 0$, mentre il numeratore è $= 0$ per $x = 2$, è $> 0$ per $1 < x < 2$ e $< 0$ per $2 < x <=3$. $f'(x)$ ovviamente ha lo stesso segno del numeratore.

[gio881]

ho corretto i segni della funzione col meno , però nell'intervallo $02$ e al denominatore $x
mentre nell'intervallo $11$ mi potresti spiegare anche con il solito grafico dei segni come devo fare visto che a quanto pare non mi è molto chiaro? grazie in anticipo!!!!

[chiaraotta1]

Per $0 <= x < 1$, $f'(x) = (-1 - sqrt(1 - x))/(2 * sqrt(1 - x))$. Se guardi questa frazione e ragioni un attimo vedi subito, anche senza fare dei conti, quello che succede: il denominatore è $> 0$, perché è il prodotto di $2$ per una radice quadrata, che, dove è definita, è $>= 0$. Poiché è a denominatore il caso in cui fosse $= 0$ non può essere accettato e quindi la radice quadrata deve essere certamente $> 0$. Il prodotto di due numeri $> 0$ è certamente $> 0$ e quindi appunto il denominatore è $> 0$. Il numeratore invece è certamente negativo perché è la somma di un numero negativo ($-1$) con un altro ($-sqrt(1 - x)$) che è certamente negativo, perché $sqrt(1 - x)$ era $> 0$. Di conseguenza numeratore e denominatore sono discordi e dunque la frazione è $< 0$ in tutto l'intervallo $0 <= x < 1$.
Per $1 < x <= 3$, $f'(x) = (1 - sqrt(x - 1))/(2 * sqrt(x - 1))$. Per il denominatore vale un ragionamento identico a quello precedente e quindi il denominatore è $> 0$. A numeratore c'è la differenza tra $1$ e $sqrt(x - 1)$. Questa differenza è $= 0$ se quei due termini sono uguali, cioè se $1 = sqrt(x - 1)$, dunque se $x - 1 = 1$ e quindi $x = 2$. Analogamente la differenza è $> 0$ se il primo è maggiore del secondo: $1 > sqrt(x - 1)$ e cioè $x - 1 < 1$ e quindi $x < 2$ (e $> 1$); così pure la differenza è $< 0$ se $1 < sqrt(x - 1)$ e cioè se $x - 1 > 1$ e quindi $x > 2$ (e $<= 3$). Poiché il denominatore è $> 0$ la frazione ha lo stesso segno del numeratore e di conseguenza è $> 0$ per $1 < x < 2$ e $< 0$ per $2 < x <= 3$.

[gio881]

GRAZIE MILLE!!!!