Problema con pendenza di una curva

[mohamede1995]

Ciao a tutti!
Mi sono imbattuto in un ostacolo che ho trovato nel libro di "R. Adams Calcolo differenziale" dove spiega con un esempio la definizione di pendenza di una curva, di seguito vi riporto lettera per lettera quello che sta nel libro:

Esempio 5 Determinare la pendenza della curva $y = (x)/(3x + 2)$ nel punto $x= -2$

Soluzione Se $x=-2$, allora $y=1/2$, e la pendenza richiesta è

$m = lim_{h \to \0} ((-2+h)/(3*(-2+h)+2)-1/2)/h$

$= lim_{h \to \0} (-4+2h-(-6+3h+2))/(2(-6+3h+2)h)$

$= lim_{h \to \0} (-1)/(2(-4+3h)) = 1/8$

Ho provato a fare in tutti i modi i calcoli ma per me l'errore (IMHO) sia nel secondo passaggio quando dovrebbe prendere $h$ dal denominatore (nel primo passaggio), e portarlo al numeratore del secondo passaggio; invece nell'esempio è praticamente l'inverso

[gugo82]

Il problema non è l’Analisi, ma la matematica elementare del primo anno delle superiori.

Hai:
\[
\frac{\ \frac{a}{b}\ }{c} = \frac{a}{b}\cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{bc}\; .
\]

[mohamede1995]

Grazie per la risposta!
Saluti

[teorema55]

Un modo anche più semplice ed equivalente per il calcolo della pendenza della curva, ricordando che essa è uguale al coefficiente angolare della retta tangente in quel punto, è calcolare la derivata prima della funzione:

$y'=(3x+2-3x)/(3x+2)^2=2/(3x+2)^2$

Ora, nel punto $x=-2$ la derivata vale

$y'(-2)=2/(-6+2)^2=1/8$

[gugo82]

Che poi è ciò che stavamo facendo, usando la definizione di derivata.

[mohamede1995]

Grazie mille teorema55 per la risposta! Dovevo ancora arrivarci alle derivate infatti mi mancavano solo due pagine al capitolo

[teorema55]

"gugo82":Che poi è ciò che stavamo facendo, usando la definizione di derivata.

Esattamente.
M