Problema con parabola ,triangolo e trapezio

[Marco241]

Nel piano xOy è data la famiglia di parabole $y=-x^2+bx+c$.

a).Determinare tra esse quella che ha il vertice sulla retta $x-2y+11=0$ e il fuoco sulla retta $6x-y=3$.FATTO

b).Detti A e B i punti di intersezione di tale parabola con l'asse x ($bar(OA)
C).Condurre nel semipiano y>0 una retta parallela all'asse x che intersechi la parabola in modo che il triangolo formato dalle tangenti in A e B e dall'asse x resti diviso in due parti delle quali quella a forma di triangolo stia in rapporto k ($k in R+$)con quella a forma di trapezio.

SVOLGIMENTO:

Vi scrivo i dati che ho trovato:

$y=-x^2+3x+4$

$V(3/2;25/4)$

$A(-1;0)$ ,$B(4;0)$

$t_A:y=5x+5$

$t_B:y=-5x+20$

$C(3/2;25/2)$ ossia questo è il punto di intersezione delle due tangenti.

indico con $A_1$ il punto di intersezione della retta $y=h$ con $t_A$ e $B_1$ il punto di intersezione di $y=h$ con $t_B$

$A_1((h-5)/5;h)$

$B_1((20-h)/5;h)$

Adesso mi calcolo l'altezza del trapezio $AA_1B_1B$ considerando la distanza di $B_1$ dall'asse x e l'altezza del triangolo $CA_1B_1$

In definitiva ottengo la seguente equazione:

$((25-2h)^2)/(2(50-2h)*h)=k$

con la limitazione:

$0<=h<=25/4$

perchè altrimenti la retta non intersecherebbe la parabola...Però non viene...Dove sbaglio?

[chiaraotta1]

"Marco24":
.....
$A_1((h-5)/2;h)$
.....

Non è $A_1((h-5)/5;h)$?

[Marco241]

Si Chiarotta grazie,ho corretto.

Adesso chiamo CT l'altezza del triangolo A_1CB_1 e a me risulta $bar(CT)=25/2-h$

$B_1H=h$ ed è l'altezza del trapezio .A te queste due altezze risultano? Senza cimentarti in calcoli dimmi se il mio ragionamento funziona...

[chiaraotta1]

Non so quale dovrebbe essere il risultato, ma se lo conosci potresti postarlo?

Comunque, partendo dalla parabola e dalle tangenti che dai tu, io suggerirei di risolvere in questo modo ....



L'area del triangolo $ABC$ è
$S_(ABC)=1/2*AB*CH=1/2*5*25/2=125/4$.

Poiché i triangoli $A'B'C$ e $ABC$ sono simili, il rapporto tra le loro aree è il quadrato del rapporto di similitudine
$(CH')/(CH)=(25/2-h)/(25/2)=(25-2h)/(25)$.
Quindi
$S_(A'B'C)=S_(ABC)*((25-2h)/(25))^2=125/4*((25-2h)/(25))^2=$
$125/4*(25-2h)^2/625=(25-2h)^2/20$.

Invece l'area del trapezio $ABB'A'$ si può trovare per differenza tra l'area del triangolo $ABC$ e quella del triangolo $A'B'C$:
$S_(ABB'A')=S_(ABC)-S_(A'B'C)=125/4-125/4*(25-2h)^2/625=$
$125/4*(1-(25-2h)^2/625)=125/(4*625)(625-625+100h-4h^2)=$
$(100h-4h^2)/20=(h(25-h))/5$.

Di conseguenza il rapporto fra le aree è
$k=S_(A'B'C)/S_(ABB'A')=((25-2h)^2/20)/((h(25-h))/5)=(25-2h)^2/(4h(25-h))$,
per cui l'equazione cercata è
$k*4h(25-h)=(25-2h)^2->k(100h-4h^2)=625-100h+4h^2->$
$4(1+k)h^2-100(k+1)h+625=0$,
con
$0

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[Marco241]

il risultato è

$k>=1/3$

[chiaraotta1]

Allora torna:
se
$0 allora
$k>=1/3$.

[Marco241]

Melia alla fine ho fatto bene perchè arrivo alla tua stessa conclusione.Solo che il risultato del libro non mi viene mi sa che è un errore di calcolo e non riesco a capire dove l'ho fatto.

Comunque non risolvere l'equazione:mi interessa se riesco a impostare bene il problema.