Problema con parabola e circonferenza

[Marco241]

Data la parabola di equazione $y=x^2+sqrt(3)x+1$ ,condotte per l'origine O le due tangenti ad essa ,si scriva l'equazione della circonferenza passante per O e per i punti di contatto A e B .Determinare sull'arco AB di tale circonferenza contenente O un punto P in modo che risulti $bar(PH)+bar(PM)=k$ con $k in R+$,essendo $bar(PH)$ e $bar(PM)$le distanze di P rispettivamente dalla retta AB e dall'asse x.

SVOLGIMENTO:

I punti richiesti sono:

$A(1;sqrt(3)+2)$

$B(-1;2-sqrt(3))$

$C:x^2+y^2-4y=0$

la retta AB è

$y=sqrt(3)x+2$

L'equazione diventa:

$(|sqrt(3)x-y+2|)/2+|y|=k$

Adesso per il primo modulo a partire da sinistra prendo la soluzione negativa.Infatti il punto P richiesto si trova a sinistra della retta AB .Il secondo modulo è positivo.

Ottengo il seguente insieme di rette:

$sqrt(3)x-3y+2+2k=0$

Mi trovo adesso le tre rette che passano per i punti A,B e (0;4) e ottengo la seguente soluzione;

$sqrt(3)+2<=k<=5$

e

$2-sqrt(3)<=k<=2+sqrt(3)$

Il libro per la prima soluzione riporta 4 e non 5!! Perchè??? Dove sbaglio?Il fascio di rette non è proprio o improprio...Ho ragionato bene?

[@melia]

Nel primo modulo devi prendere la soluzione positiva perché sarà anche vero che P sta sotto, ma il coefficiente di y è negativo.
Basta che controlli con l'origine o con un altro punto del semipiano contenete P per vedere qual è il segno giusto.
Poi sono d'accordo che devi trovare le rette per A e B, ma poi devi trovare la tangente del primo quadrante, non ho capito che cosa c'entra (0, 4).

[Marco241]

Melia il punto P deve trovarsi sull'arco AB .

Nel mio disegno il punto P si trova a sinistra della retta AB e quindi la soluzione negativa è quella giusta perchè altrimenti non mi avrebbe dato la seconda soluzione che è quella del libro.

Ho preso in considerazione il punto (0;4) perchè ho voluto calcolare la retta del fascio che passa per quel punto.

tu dici di prendere la soluzione positiva...in questo modo avrei:

$sqrt(3)+y+2=2k$

infatti tutti i punti dell'arco AB hanno ordinata positiva...Quindi devo considerare il fascio di rette che hanno ordinata positiva...E' questa la spiegazione? IN questo caso i conti tornano...e mi viene.Fammi capire se il ragionamento è questo...

AGGIORNAMENTO:MANNAGGIA MELIA! Ecco cosa ho sbagliato:dei due archi di circonferenza ho preso quello non contenente O :allora il tuo ragionamento fila! Maledette sviste!