Problema con limiti tendenti a infinito
Salve a tutti. Mi stavo allenando con i limiti ma mi sono bloccato a questi due limiti tendenti a infinito:
$(1-5/4x)^(8x)$
$(1-4/5x)^(10x)$
Ho capito che si devono ricondurre al limite notevole x tendente a infinito di $(1+1/x)^x$ ma sinceramente non so che fare a quei 4/5x e 5/4x...
$(1-5/4x)^(8x)$
$(1-4/5x)^(10x)$
Ho capito che si devono ricondurre al limite notevole x tendente a infinito di $(1+1/x)^x$ ma sinceramente non so che fare a quei 4/5x e 5/4x...
Risposte
Suppongo che il problema sorga con $lim_(x->oo) (1-5/(4x))^(8x)$ perché dal testo che hai scritto non si capisce.
In questo caso poni $-5/(4x)=1/y$, da questo ricavi x e ottieni $x=-4/5 y$ poi guardi a cosa tendono e per $x->oo$ anche $y->oo$, sostituisci nel limite
$lim_(y->oo) (1+1/y)^(-32/5 y) =lim_(y->oo) ((1+1/y)^y)^(-32/5 ) = e^(-32/5 )$
L'altro esercizio si risolve allo stesso identico modo
In questo caso poni $-5/(4x)=1/y$, da questo ricavi x e ottieni $x=-4/5 y$ poi guardi a cosa tendono e per $x->oo$ anche $y->oo$, sostituisci nel limite
$lim_(y->oo) (1+1/y)^(-32/5 y) =lim_(y->oo) ((1+1/y)^y)^(-32/5 ) = e^(-32/5 )$
L'altro esercizio si risolve allo stesso identico modo
scusa @melia ma il tuo esercizio non mi sembra corretto e magari neanche tutti i passaggi del mio sono corretti, però ho provato a farlo e Derive mi conferma che viene $e^(-10)$
Ecco come ho proceduto:
$(1 - 5/(4x))^(8x)$ = $(1 + 1/(-4/5x))^(8x)$ = $(1 + 1/(-4/5x))^(-4/5*-10x)$ = $((1 + 1/(-4/5x))^(-4/5x))^-10$
A questo punto vedendo che il coefficiente della x al denominatore è lo stesso della x esponente posso dedurre che il limite è: $e^(-10)$ ma volendo fare i calcoli per bene fino alla fine io farei:
sostituisco: $y=-4/5x$ e quindi $lim_(y->-infty)$ perchè se sostituisco infinito ad x ottengo $-infty$
$lim_(y->-infty)((1 + 1/y)^y)^-10$
A questo punto però non ho più il limite notevole perchè $y->-infty$ e non riesco più a chiudere l'esercizio...
@melia, quando tu sostituisci sbagli perchè dovrebbe essere $x=-5/4y$ e quindi l'esponente diventa -10 come nel mio.
E poi per me dovrebbe essere $y->-infty$
Riusciamo a concludere?
Grazie
Ecco come ho proceduto:
$(1 - 5/(4x))^(8x)$ = $(1 + 1/(-4/5x))^(8x)$ = $(1 + 1/(-4/5x))^(-4/5*-10x)$ = $((1 + 1/(-4/5x))^(-4/5x))^-10$
A questo punto vedendo che il coefficiente della x al denominatore è lo stesso della x esponente posso dedurre che il limite è: $e^(-10)$ ma volendo fare i calcoli per bene fino alla fine io farei:
sostituisco: $y=-4/5x$ e quindi $lim_(y->-infty)$ perchè se sostituisco infinito ad x ottengo $-infty$
$lim_(y->-infty)((1 + 1/y)^y)^-10$
A questo punto però non ho più il limite notevole perchè $y->-infty$ e non riesco più a chiudere l'esercizio...
@melia, quando tu sostituisci sbagli perchè dovrebbe essere $x=-5/4y$ e quindi l'esponente diventa -10 come nel mio.
E poi per me dovrebbe essere $y->-infty$
Riusciamo a concludere?
Grazie
Che io abbia sbagliato l'inversione è pacifico, tuttavia il limte notevole vale a $oo$ cioè sia a $+oo$ che a $-oo$, non vedo il tuo problema sulla non chiusura, si chiude benissimo. Non fare l'errore di confondere $oo$ che equivale a $+-oo$ con $+oo$
"@melia":
Non fare l'errore di confondere $oo$ che equivale a $+-oo$ con $+oo$
Acc! Ma questo errore lo commetto sempre anch'io!
Cioè, per me $\infty$ è sempre stato uguale a $+\infty$... Mi rispieghi un po' questa faccenda? 
Grazie @melia, il tuo post mi ha aperto una nuova visione sui limiti 
Certo che
io non ricordo di averlo mai trovato scritto su un libro, anche se ammetto che a volte ho trovato scritto $x->infty$ e altre volte $x->+infty$ quando magari è necessario esplicitare il segno $+$
Grazie ancora
Certo che
Non fare l'errore di confondere $infty$ che equivale a $+-infty$ con $+infty$
io non ricordo di averlo mai trovato scritto su un libro, anche se ammetto che a volte ho trovato scritto $x->infty$ e altre volte $x->+infty$ quando magari è necessario esplicitare il segno $+$
Grazie ancora
Per completare la retta reale con l'infinito si possono scegliere due vie, una è quella di aggiungere 2 punti, il più piccolo di tutti lo chiami $-oo$ il più grande lo chiami $+oo$.
Oppure puoi scegliere la strada di mettere un punto solo, appunto $oo$ in questo modo perdi l'ordinamento perché il numero più piccolo coincide con il più grande, per cui di solito si preferisce completare la retta reale con i due infiniti separatamente.
Tuttavia se scegli la prima strada il limite $lim_(x->0) 1/x$ non ammette soluzione e devi per forza separare i due limiti $lim_(x->0^-) 1/x$ e $lim_(x->0^+) 1/x$ per ottenere delle soluzioni, mentre scegliendo di usare un solo infinito $lim_(x->0) 1/x$ ammette soluzione, appunto $lim_(x->0) 1/x = oo$
Oppure puoi scegliere la strada di mettere un punto solo, appunto $oo$ in questo modo perdi l'ordinamento perché il numero più piccolo coincide con il più grande, per cui di solito si preferisce completare la retta reale con i due infiniti separatamente.
Tuttavia se scegli la prima strada il limite $lim_(x->0) 1/x$ non ammette soluzione e devi per forza separare i due limiti $lim_(x->0^-) 1/x$ e $lim_(x->0^+) 1/x$ per ottenere delle soluzioni, mentre scegliendo di usare un solo infinito $lim_(x->0) 1/x$ ammette soluzione, appunto $lim_(x->0) 1/x = oo$
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