Problema con limiti
Ho questo problema: un trapezio rettangolo $ABCD$ con base maggiore $AB$ è circoscritto a una semicirconferenza di diametro $AD=4$ e posto l'angolo $ABC=x$ calcola il $lim_(x->0)((AB)/(CD))$.
Ho pensato di sfruttare il fatto che essendo circoscitto ad una circonferenza la somma dei lati opposti è uguale, quindi $AD+CB=AB+DC$ che a sua volta diventa: $4+CB=2DC+HB$. Poi trovo $HB$: $HB=4ctgx$ d $CB=4/sinx$.
Poi ricavo $DC$ che viene $DC=(2sinx-2cosx+2)/(sinx)$. Quando però vado a trovare l'area del trapezio trovo $S(x)=8+8/(sinx)$ anzichè $S(x)=8/(sinx)$.
Potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?
Ho pensato di sfruttare il fatto che essendo circoscitto ad una circonferenza la somma dei lati opposti è uguale, quindi $AD+CB=AB+DC$ che a sua volta diventa: $4+CB=2DC+HB$. Poi trovo $HB$: $HB=4ctgx$ d $CB=4/sinx$.
Poi ricavo $DC$ che viene $DC=(2sinx-2cosx+2)/(sinx)$. Quando però vado a trovare l'area del trapezio trovo $S(x)=8+8/(sinx)$ anzichè $S(x)=8/(sinx)$.
Potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?
Risposte
Il trapezio è circoscritto ad una semicirconferenza e non ad una circonferenza, quindi non puoi applicare il teorema della somma dei lati opposti. Indica invece con O il centro della circonferenza; dimostra che $AhatBO=x/2$ e $DhatCO=pi/2-x/2$ ed usali per calcolare AB e CD.
Non vedo la domanda di calcolare l'area, ma forse hai solo dimenticato di scriverla.
Non vedo la domanda di calcolare l'area, ma forse hai solo dimenticato di scriverla.
In effetti ho dimenticato di scrivere che la prima richiesta era di trovare l'area, poi fare il limite. Ma non capisco come abbia letto male il problema. Quindi il disegno corretto da fare sarebbe questo?
No.
"axpgn":
No.
Come siamo laconici. Come on!
Il disegno, fatto male, è questo:
Perché sia circoscritto i lati devono toccare la circonferenza. C'è un lato nel tuo disegno che sembra mandi a quel paese la circonferenza Zfres!
La questione chiave tel'ha già esposta giammaria. La dimostrazione risiede nel teorema delle tangenti condotte da un punto esterno alla circonferenza.
E lasciare che ci arrivi da solo, invece? Non mi pare una cosa complicatissima comprendere il concetto di "circoscritto" e "inscritto" ma se si continua a farlo noi invece che lui … 
No infatti ma essendo un concetto di base ho pensato che un disegno potesse essere più eloquente della solita definizione che poteva trovare sul libro di seconda o prima. O anche un buon libro di geometria delle medie. Il problema non è risolto così. Mi aspetto un tentativo di soluzione da ZfreS adesso.
Proprio perché è un concetto di base deve arrivarci da solo, altrimenti con quelli più complessi come fa?
Ovvero deve rivedere/ripassare questi concetti e comprenderli ben bene …
Ovvero deve rivedere/ripassare questi concetti e comprenderli ben bene …
[ot]Per carità axpgn. Non si può tornare in prima superiore od in terza media. Bisogna guardare avanti. Col tempo colmerà le lacune, a meno che non si tratti di problemi grossi: tabelline, addizioni, divisioni (anche con la virgola), proporzioni,...[/ot]
Adesso cosa vuol dire circoscritto lo ha visto e non lo dimenticherà mai più (o almeno spero).
Adesso cosa vuol dire circoscritto lo ha visto e non lo dimenticherà mai più (o almeno spero).
Ok, vediamo se ho capito.
C'è un torema con la tangente condotta da un punto esterno a una cironferenza, ma in quel teorema centra anche la secante che in questo caso non c'è. Invece le due tangenti possono essere i lati $AB$ e $BC$. In base a quel teorema la retta che congiunge il punto esterno col centro della circonferenza divide l angolo a metà.
C'è un torema con la tangente condotta da un punto esterno a una cironferenza, ma in quel teorema centra anche la secante che in questo caso non c'è. Invece le due tangenti possono essere i lati $AB$ e $BC$. In base a quel teorema la retta che congiunge il punto esterno col centro della circonferenza divide l angolo a metà.
Quella sulla secante non l'ho capita.
Ok, mi sono sbagliato. Però in base al quel teorema, i segmenti tangenti alla circonferenza dovrebbero essere conguenti. Ma un lato è $2ctg(x/2)$ e l'altro è $4/(sinx)$
Ma quanto deve venire l'area?
L'area deve venire $8/(sinx)$
Con i lati che ho scritto viene corretto allora. Prova a capire come li ho trovati (se non lo hai già capito). Devi tracciare il raggio per il punto di tangenza. Ottieni dei triangoli rettangoli.
Ho capito come hai ricavato il lato $AB$, ma non $BC$ e $CD$. Se traccio i raggi, ottengo due triangoli rettangoli, ma non trovo alcuna informazione su $BC$ e $CD$. Questo è il disegno che ho fatto:
L'angolo $B\hat(C)D$ è $pi-x$
Tracci il segmento $\bar(FC)$ e, sempre per le tangenti tracciate dal punto esterno hai $F\hat(C)E=F\hat(C)D=pi/2-x/2$ come giammaria ti aveva fatto notare. A quel punto hai $FCD$ triangolo rettangolo, di cui hai un cateto $\bar(FD)=2$ e un angolo $F\hat(C)D$ (oltre all'angolo retto in $\hatD$)
Quindi trovi l'altro cateto sapendo che ciascun cateto è uguale all'altro cateto moltiplicato per la cotangente dell'angolo adiacente al cateto incognito.
Chiaramente do per scontato tu sappia che $cotg(pi/2-x)=tg(x/2)$
In definitiva avrai
$S(x)=((2tg(x/2)+2cot(x/2))*4)/2$ e con le formule goniometriche riesci a portarti al risultato sperato.
Tracci il segmento $\bar(FC)$ e, sempre per le tangenti tracciate dal punto esterno hai $F\hat(C)E=F\hat(C)D=pi/2-x/2$ come giammaria ti aveva fatto notare. A quel punto hai $FCD$ triangolo rettangolo, di cui hai un cateto $\bar(FD)=2$ e un angolo $F\hat(C)D$ (oltre all'angolo retto in $\hatD$)
Quindi trovi l'altro cateto sapendo che ciascun cateto è uguale all'altro cateto moltiplicato per la cotangente dell'angolo adiacente al cateto incognito.
Chiaramente do per scontato tu sappia che $cotg(pi/2-x)=tg(x/2)$
In definitiva avrai
$S(x)=((2tg(x/2)+2cot(x/2))*4)/2$ e con le formule goniometriche riesci a portarti al risultato sperato.
Ok, ho capito tutto tranne due cose: perchè l'angolo $BCD$ è $pi-x$ e perchè l'angolo $CFD$ è $x/2$
Un trapezio è un quadrilatero. La somma degli angoli interni di un quadrilatero è $2pi$
$C\hat(D)A=pi/2$ e $B\hat(A)D=pi/2$
$A\hat(B)C=x$
Per differenza
$B\hat(C)D=2pi-(A\hat(B)C+B\hat(A)D+C\hat(D)A)=2pi-(x+pi/2+pi/2)=pi-x$
$C\hat(D)A=pi/2$ e $B\hat(A)D=pi/2$
$A\hat(B)C=x$
Per differenza
$B\hat(C)D=2pi-(A\hat(B)C+B\hat(A)D+C\hat(D)A)=2pi-(x+pi/2+pi/2)=pi-x$
Ah ok adesso ho capito, questo in effetti era facile, ma quando dici che $FCE=FCD=pi/2-x/2$ significa che l'angolo $CFD$ è di $x/2$, ma non capisco perchè.
No significa che $\bar(CD)$ e $\bar(CE)$ sono due tangenti condotte da $C$, che è il punto esterno alla $"circonferenza"$ e pertanto, per il teorema che prima ti citavo, $\bar(CF)$ è una bisettrice dell'angolo $E\hat(C)D$ o $B\hat(C)D$ che dir si voglia.
Segue che, appurato $B\hat(C)D$ essere $pi-x$, si ha ovviamente $F\hat(C)E=F\hat(C)D=(B\hat(C)D)/2=(pi-x)/2=pi/2-x/2$
Lo stesso discorso che va fatto per il punto $B$ anch'esso esterno alla $"circonferenza"$ e pertanto ecc. ecc. ecc.
[ot]E siamo a $800$
[/ot]
Segue che, appurato $B\hat(C)D$ essere $pi-x$, si ha ovviamente $F\hat(C)E=F\hat(C)D=(B\hat(C)D)/2=(pi-x)/2=pi/2-x/2$
Lo stesso discorso che va fatto per il punto $B$ anch'esso esterno alla $"circonferenza"$ e pertanto ecc. ecc. ecc.
[ot]E siamo a $800$
[/ot]
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