Problema con le potenze
Non riesco a risolvere questo problema:
E' dato il seguente numero:
$(5^20*2^5)^3-:(5^42*2^k)*27^4$
Si desidera che valgano 0 le ultime tre cifre, ma non la quartultima. Quanto deve valere k?
Mi viene da pensare che un numero con le ultime tre cifre 0 sia divisibile per 1000...
Il risultato è k=12
Grazie!
E' dato il seguente numero:
$(5^20*2^5)^3-:(5^42*2^k)*27^4$
Si desidera che valgano 0 le ultime tre cifre, ma non la quartultima. Quanto deve valere k?
Mi viene da pensare che un numero con le ultime tre cifre 0 sia divisibile per 1000...
Il risultato è k=12
Grazie!
Risposte
Hai provato a semplificare l'espressione usando le proprietà delle potenze?
"DRN":
E' dato il seguente numero:
$(5^20*2^5)^3-:(5^42*2^k)*27^4$
Si desidera che valgano 0 le ultime tre cifre, ma non la quartultima. Quanto deve valere k?
Mi viene da pensare che un numero con le ultime tre cifre 0 sia divisibile per 1000...
Il risultato è k=12
Puoi ignorare $27^4$ del tutto. $60-42>3$ quindi puoi ignorare i $5$. A questo punto vuoi che $15-k=3$, quindi $k$ è 12. Fatto.
Puoi spiegarti meglio ghira?
Perchè posso ignorare i numeri con esponente maggiore di 3? Poi quale proprietà delle operazioni posso applicare? forse l'invariantiva della divisione?
Perchè posso ignorare i numeri con esponente maggiore di 3? Poi quale proprietà delle operazioni posso applicare? forse l'invariantiva della divisione?
Neanche io ho capito la soluzione di ghira. Io lo imposterei così. Se applichi le proprietà delle potenze arrivi a $5^{18}\cdot 2^{15-k} \cdot 3^{12}=n\cdot 10^3$ per un certo $n$ non divisibile per $10$, da cui $5^{15}\cdot 2^{12-k} \cdot 3^{12}=n$. Siccome $5$ divide $n$ e $n$ non è multiplo di $10$ segue che $2$ non può dividere $n$ per cui $12-k=0$.
"DRN":
Puoi spiegarti meglio ghira?
Hai almeno 3 $5$ quindi vuoi esattamente 3 $2$. I $3$ sono irrilevanti. A parte il suo essere almeno 3, la quantità di $5$ non importa. Quindi butti tutto a parte i $2$ ed esce $k=12$ subito.
Ghira, la tua non è una spiegazione adatta a chi non ha capito come si fa... le cose o si scrivono bene o non si scrivono. Invito DRN a guardare la mia soluzione, quella è chiara e completa.
Luca , ho capito il tuo schema , ma non ti seguo sull ultima riga , che n non è un multiplo di 10 ci sono , ma non ho capito perché 5 non è divide n ed 2 non può dividere n , e quindi si esclude il 3? Non riesco a capire,.. me lo puoi spiegare per favore? Che è da ieri che non trovo una soluzione ... grazie
Vediamo se riesco a farlo io.
Suppongo che tu sia arrivato a capire $5^18*2^(15-k)*3^12=n*10^3$ infatti le ultime 3 cifre del numero cercato devono essere 0, ma non la quart'ultima. Quindi n non è divisibile per 10.
Se divido entrambi i membri per $10^3$ ottengo $5^15*2^(12-k)*3^12=n$, ma n non può essere divisibile per 10 altrimenti anche la quart'ultima cifra del numero cercato sarebbe 0. I 5 non li posso eliminare, quindi non ci devono essere dei 2, cioè l'esponente del 2 si deve annullare, per cui $12-k=0$ con la conseguenza che $k=12$
Suppongo che tu sia arrivato a capire $5^18*2^(15-k)*3^12=n*10^3$ infatti le ultime 3 cifre del numero cercato devono essere 0, ma non la quart'ultima. Quindi n non è divisibile per 10.
Se divido entrambi i membri per $10^3$ ottengo $5^15*2^(12-k)*3^12=n$, ma n non può essere divisibile per 10 altrimenti anche la quart'ultima cifra del numero cercato sarebbe 0. I 5 non li posso eliminare, quindi non ci devono essere dei 2, cioè l'esponente del 2 si deve annullare, per cui $12-k=0$ con la conseguenza che $k=12$
IMHO, il modo più rapido è "quel numero deve essere divisibile per 1000 ma non per 10.000".
Queste sono le due condizioni da rispettare.
Queste sono le due condizioni da rispettare.
Melia , scusa ma proprio non capisco , mi ritrovo con n che può essere un numero da 1 a 9 , perché si escludono i 5 e i 2 ?
Riprovo.
Come giustamente ha detto Bokonon il numero cercato è divisibile per 1000, ma non per 10.000 per via del fatto che le ultime 3 cifre del numero cercato devono essere 0, ma non la quart'ultima.
Ma $1000=5^3*2^3$ mentre $10000=5^4*2^4$, ora il $5$ è elevato alla $18$, quindi il $5^4$ c'è per forza $5^18=5^4*5^14$ e l'unica possibilità che il numero cercato non sia divisibile per $10000$ è che non ci sia il $2^4$ ma che la potenza di $2$ si fermi alla terza.
Quindi $2^(15-k)=2^3$ da cui $15-k=3$ e poi $k=12$.
Stavolta non ho usato la $n$, magari ti risulta più comprensibile.
Come giustamente ha detto Bokonon il numero cercato è divisibile per 1000, ma non per 10.000 per via del fatto che le ultime 3 cifre del numero cercato devono essere 0, ma non la quart'ultima.
Ma $1000=5^3*2^3$ mentre $10000=5^4*2^4$, ora il $5$ è elevato alla $18$, quindi il $5^4$ c'è per forza $5^18=5^4*5^14$ e l'unica possibilità che il numero cercato non sia divisibile per $10000$ è che non ci sia il $2^4$ ma che la potenza di $2$ si fermi alla terza.
Quindi $2^(15-k)=2^3$ da cui $15-k=3$ e poi $k=12$.
Stavolta non ho usato la $n$, magari ti risulta più comprensibile.
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