Problema con le parabole

[victorinox]

ciao a tutti,
vi chiedo cortesemente di aiutarmi in questo esercizio.
a scuola abbiamo appena fatto la parabola con l'asse di simmetria parallelo a quello delle ascisse.
l'equazione di questa parabola è del tipo

[math]x= ay^2 + by + c[/math]

la traccia è questa:
dobbiamo scrivere come cambia il FUOCO, IL VERTICE, LA DIRETTRICE E L'ASSE
se B=0 e se Bè diverso da 0.

spero di essere stato chiaro.
grazie
:hi

ps: l'esercizio è per dopo domani

Aggiunto 16 ore 58 minuti più tardi:

sisi.. grazie sei gentilissmo
:hi

[BIT5]

A differenza della parabola tradizionale (ovvero con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate) tutti i valori risultatno "invertiti" ovvero tutti i valori di vertice, fuoco direttrice e asse "cambiano" x e y

pertanto il vertice della parabola generica da te proposto, ha coordinate "invertite" rispetto all'altra parabola.

Il valore di b determina le seguenti caratteristiche:

se b=0 l'ordinata del vertice (ovvero

[math] - \frac{b}{2a} [/math]

diviene = 0 (b=0 quindi numeratore = 0 quindi frazione = 0)

Pertanto il vertice giace sull'asse x.

Il fuoco, che giace sulla stessa retta orizzontale (nel caso della parabola y=ax^2.... giace sulla stessa retta VERTICALE) passante per il vertice, giace anch'esso sull'asse x.

L'asse di simmetria, (che altro non e' che la retta passante per vertice e fuoco), sara' dunque l'asse x.

La direttrice, ovvero la retta VERTICALE (in questo tipo di parabole) sara' la retta la cui distanza dal vertice e' uguale alla distanza tra vertice e fuoco. Pertanto nulla si puo' dire della direttrice.

Se b e' diverso da zero, i valori di cui sopra saranno variabili e nulla si puo' dire.

Aggiunto 1 ore 12 minuti più tardi:

Ti aggiungo un paio di altre osservazioni:

se c=0 la parabola diviene

[math] x=ay^2+by [/math]

e come puoi notare l'origine soddisfa l'equazione, pertanto se c=0 la parabola passa per l'origine.

Se

[math] ay^2+by+c [/math]

e' un quadrato perfetto, significa che la parabola subisce solo una traslazione sull'asse y e nessuna sull'asse x e pertanto ha il vertice sull'asse y (ovvero x=0)

Ti illustro infine un modo "alternativo" per capire il vertice di una parabola.

Il discorso che ti faccio qui, vale (ovviamente) anche per le parabole con asse di simmetria parallelo all'asse y.

Ti spiego con un esempio..

La parabola semplice e' rappresentata dall'equazione

[math] x=y^2 [/math]

Essa ha vertice sull'origine, asse di simmetria y=0

Inoltre la y del fuoco (uguale a quella del vertice) e' 0

Considera poi che:

la x del fuoco e'

[math] \frac{1- \Delta}{4a} = \frac{1}{4a} - \frac{\Delta}{4a}= \frac{1}{4a}-x_V [/math]

E analogamente la direttrice -1/4a-xV

Quindi il fuoco sara' (1/4,0) e la direttrice x=-1/4

Supponi di avere la parabola:

[math] x=y^2-6x+9 [/math]

Essa la puoi riscrivere come

[math] x=(y-3)^2 [/math]

Posto Y=y-3 avrai dunque

[math] x=Y^2 [/math]

Che nel nuovo sistema di riferimento e' di nuovo la parabola di prima.

Per portare la parabola nella forma x=y^2 abbiamo dovuto "operare" solo su y.

Pertanto tutti i valori di x della parabola x=y^2 non cambiano

(e quindi ascissa del vertice = 0, Ascissa del fuoco =1/4, direttrice x=-1/4)

Tutti i valori di y invece subiranno una variazione del valore di +3

Pertanto la y del vertice sara' 3, la y del fuoco +3, l'asse y=+3

Prendiamo un altro esempio:

[math] x=y^2+4y+9 [/math]

In questo caso non abbiamo un quadrato, ma possiamo procedere al metodo del completamento del quadrato (ovvero togliamo e aggiungiamo 5)

avremo

[math] x=y^2+4y+9-5+5 \to x=y^2+4y+4+5 \to \\ \to x=(y+2)^2+5 \to x-5=(y+2)^2 [/math]

E come prima

[math] X=x-5 \ \ \ Y=y+2 \to X=Y^2 [/math]

E quindi:

V(5,-2), Fuoco(1/4-5,-2) asse di simmetria y=-2 direttrice x=-1/4-5

Infine prendiamo per esempio

[math] x=2y^2+8y+70 [/math]

Raccogliamo

[math] x=2(y^2+4y+35) [/math]

Operiamo come prima

[math] x=2((y+2)^2+31) \to x=2(y+2)^2+62 \to x-62=2(y+2)^2 [/math]

la parabola sara'

[math] X=2Y^2 [/math]

con X=x-62 e Y=y+2

Abbiamo la traslazione, pertanto

x del vertice= 62 (la traslazione)

y del vertice = -2 (la traslazione)

asse di simmetria: y=-2

Fuoco:

y del fuoco=-2

x del fuoco=

[math] \frac{1}{4a}-x_v= \frac18-62 [/math]

Direttrice:

[math] - \frac{1}{4a}-x_v=- \frac18-62 [/math]

mi sono dilungato parecchio, ma magari puo' tornarti utile