Problema con integrale abbastanza semplice.
Salve a tutti. All'interno di un problema mi sono ritrovato a risolvere questo integrale ma il mio risultato è diverso da quello riportare dalla soluzione dell'esercizio. L'integrale non è molto complicato ma non capisco proprio dove sbaglio
\( \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{1+x^2}} dx =\int_{-\infty}^{3}{\frac{1}{1+x^2}} \, dx +\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{1+x^2}} \, dx=\lim_{M\rightarrow -\infty}\int_{M}^{3} {\frac{1}{1+x^2}}\, dx +\lim_{M\rightarrow +\infty} \int_{3}^{M} {\frac{1}{1+x^2}}\, dx=\lim_{M\rightarrow -\infty} [\arctan x]_M^3+\lim_{M\rightarrow +\infty} [\arctan x]_3^M=\lim_{M\rightarrow -\infty}[\arctan (3)-\arctan (M)]+\lim_{M\rightarrow +\infty}[\arctan (M)-\arctan (3)]=\pi \)
Non capisco proprio dove sbaglio, ma l'esercizio da come risultato 1. Mi viene il dubbio che sia sbagliato il risultato. Voi che dite? C'è qualche errore nel mio procediemento?
\( \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{1+x^2}} dx =\int_{-\infty}^{3}{\frac{1}{1+x^2}} \, dx +\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{1+x^2}} \, dx=\lim_{M\rightarrow -\infty}\int_{M}^{3} {\frac{1}{1+x^2}}\, dx +\lim_{M\rightarrow +\infty} \int_{3}^{M} {\frac{1}{1+x^2}}\, dx=\lim_{M\rightarrow -\infty} [\arctan x]_M^3+\lim_{M\rightarrow +\infty} [\arctan x]_3^M=\lim_{M\rightarrow -\infty}[\arctan (3)-\arctan (M)]+\lim_{M\rightarrow +\infty}[\arctan (M)-\arctan (3)]=\pi \)
Non capisco proprio dove sbaglio, ma l'esercizio da come risultato 1. Mi viene il dubbio che sia sbagliato il risultato. Voi che dite? C'è qualche errore nel mio procediemento?
Risposte
"#DIV/0!":
Salve a tutti. All'interno di un problema mi sono ritrovato a risolvere questo integrale ma il mio risultato è diverso da quello riportare dalla soluzione dell'esercizio. L'integrale non è molto complicato ma non capisco proprio dove sbaglio
\( \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{1+x^2}} dx =\int_{-\infty}^{3}{\frac{1}{1+x^2}} \, dx +\int_{3}^{+\infty}{\frac{1}{1+x^2}} \, dx=\lim_{M\rightarrow -\infty}\int_{M}^{3} {\frac{1}{1+x^2}}\, dx +\lim_{M\rightarrow +\infty} \int_{3}^{M} {\frac{1}{1+x^2}}\, dx=\lim_{M\rightarrow -\infty} [\arctan x]_M^3+\lim_{M\rightarrow +\infty} [\arctan x]_3^M=\lim_{M\rightarrow -\infty}[\arctan (3)-\arctan (M)]+\lim_{M\rightarrow +\infty}[\arctan (M)-\arctan (3)]=\pi \)
Non capisco proprio dove sbaglio, ma l'esercizio da come risultato 1. Mi viene il dubbio che sia sbagliato il risultato. Voi che dite? C'è qualche errore nel mio procediemento?
è assolutamente corretto, l'ho svolto anche in un altro modo per scrupolo, ma viene sempre pigreco.
ciao potevo fare così
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx =\lim_{M\rightarrow +\infty}\int_{-M}^{M}= \frac{1}{1+x^2}\, dx =\lim_{M\rightarrow +\infty}[\arctan (M)-\arctan (-M)]$
però poi come proseguo?grazie
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx =\lim_{M\rightarrow +\infty}\int_{-M}^{M}= \frac{1}{1+x^2}\, dx =\lim_{M\rightarrow +\infty}[\arctan (M)-\arctan (-M)]$
però poi come proseguo?grazie
ricorda il grafico dell'$arctan$..
ah giusto non mi sono ricordato che potevo scriverla così, grazie mille 
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