Problema con il teorema dell'angolo esterno
Salve a tutti , la professoressa oggi ci ha chiesto di svolgere il seguente problema:
"Nel triangolo ABC congiungi i due vertici B e C con un punto interno qualunque O; dimostra che l'angolo BOC è maggiore dell'angolo BAC. (Applica due volte il teorema dell'angolo esterno dopo aver prolungato, per esempio, BO fino ad incontrare il lato AC...)
Non riesco a trovare la soluzione sfruttando il teorema dell'angolo esterno, non so veramente da dove cominciare.
Ho provato a disegnare tutti gli angoli esterni che mi venivano in mente, eppure non riesco a trovare un nesso logico tra l'angolo BOC e l'angolo BAC
Anzi vi volevo chiedere se per caso mi potreste dare qualche consiglio su come applicare questo teorema nei problemi in generale.
Grazie in anticipo.
"Nel triangolo ABC congiungi i due vertici B e C con un punto interno qualunque O; dimostra che l'angolo BOC è maggiore dell'angolo BAC. (Applica due volte il teorema dell'angolo esterno dopo aver prolungato, per esempio, BO fino ad incontrare il lato AC...)
Non riesco a trovare la soluzione sfruttando il teorema dell'angolo esterno, non so veramente da dove cominciare.
Ho provato a disegnare tutti gli angoli esterni che mi venivano in mente, eppure non riesco a trovare un nesso logico tra l'angolo BOC e l'angolo BAC
Anzi vi volevo chiedere se per caso mi potreste dare qualche consiglio su come applicare questo teorema nei problemi in generale.
Grazie in anticipo.
Risposte
Disegna il triangolo $ABC$ , e scegli un punto $O$ interno qualsiasi . Congiungi B con O , e prolunga $BO$ fino ad incontrare il lato $AC$ in un punto che chiami $D$ .
Per il teorema dell'angolo esterno applicato al triangolo $ODC$ , si ha che :
$B\hat{O}C$ = $O\hat{D}C + O\hat{C}D$ .
D'altronde l'angolo in $D$ è esterno al triangolo $DAB$ , ci sei ? Per cui si può anche scrivere che :
$B\hat{D}C = B\hat{A}D + D\hat{B}A $ .
Perciò , sostituendo la seconda nella prima relazione ( in quanto $O\hat{D}C = B\hat{D}C $ , è lo stesso angolo ) , si ha :
$B\hat{O}C = B\hat{A}D + D\hat{B}A + O\hat{C}D$
Perciò risulta che : $B\hat{O}C > B\hat{A}D$ , come dovevasi dimostrare ( $ B\hat{A}D = B\hat{A}C $ )
Ciao giovanotto , mi raccomando studia e fa' esercizi !
Per il teorema dell'angolo esterno applicato al triangolo $ODC$ , si ha che :
$B\hat{O}C$ = $O\hat{D}C + O\hat{C}D$ .
D'altronde l'angolo in $D$ è esterno al triangolo $DAB$ , ci sei ? Per cui si può anche scrivere che :
$B\hat{D}C = B\hat{A}D + D\hat{B}A $ .
Perciò , sostituendo la seconda nella prima relazione ( in quanto $O\hat{D}C = B\hat{D}C $ , è lo stesso angolo ) , si ha :
$B\hat{O}C = B\hat{A}D + D\hat{B}A + O\hat{C}D$
Perciò risulta che : $B\hat{O}C > B\hat{A}D$ , come dovevasi dimostrare ( $ B\hat{A}D = B\hat{A}C $ )
Ciao giovanotto , mi raccomando studia e fa' esercizi !
Se per caso hai fatto solo il teorema "L'angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti", puoi anche ragionare così: $B hat O C$ è esterno al triangolo COD, quindi $B hatO C> C hat D O$. A sua volta, $C hat D O$ è esterno al triangolo ABD, quindi ...
Grazie mille a entrambi, mi siete stati molto di aiuto:
Per "navigatore":
non mi è molto chiara questa cosa:
"Per il teorema dell'angolo esterno applicato al triangolo ODC , si ha che :
BOˆC = ODˆC+OCˆD.
Per "navigatore":
non mi è molto chiara questa cosa:
"Per il teorema dell'angolo esterno applicato al triangolo ODC , si ha che :
BOˆC = ODˆC+OCˆD.
"Christian97":
non mi è molto chiara questa cosa:
"Per il teorema dell'angolo esterno applicato al triangolo ODC , si ha che :
BOˆC = ODˆC+OCˆD.
Christian , suppongo che tu abbia disegnato il triangolo $ABC$ , preso il punto $O$ interno , congiunto $B$ con $O$ e prolungato $BO$ fino ad incontrare il lato $AC$ nel punto $D$ , come ti ho detto io . Inoltre , hai anche disegnato $OC$ . Giusto ?
Allora , dovresti renderti conto che l'angolo $B\hat{O}C$ è esterno al triangolo $ODC$ nel vertice $O$ .
Ora , il "teorema dell'angolo esterno" dice che un angolo esterno ad un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti : suppongo tu conosca questo teorema , giusto ?
La relazione che ti ho scritto , e che non hai compreso , è proprio questa : $B\hat{O}C = O\hat{D}C + O\hat{C}D $ .
E' più chiaro adesso ? Forse sarebbe meglio se io facessi un disegno e lo mettessi qui , ma non so farlo ancora. Però se fai bene la figura ti rendi conto di quanto ti ho detto .
Coraggio, non è difficile !
Stiamo studiando il primo teorema dell'angolo esterno che afferma che ogni angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente ad esso.
Ho guardato anche questo link : http://www.ripmat.it/mate/f/fd/fdba.html che ha proprio la dimostrazione che ho sul libro.
Ce ne sono forse altri??
Ho guardato anche questo link : http://www.ripmat.it/mate/f/fd/fdba.html che ha proprio la dimostrazione che ho sul libro.
Ce ne sono forse altri??
Era quello che supponevo; guarda di nuovo la mia soluzione, che usa proprio quel teorema. Non l'ho completata di proposito: il compito devi farlo tu, altrimenti non impari.
Christian,
se stai studiando il primo teorema dell'angolo esterno , ti conviene seguire il suggerimento di Giammaria per eseguire la dimostrazione che vuole la prof . Comunque il passo dal primo al secondo teorema ( quello che ti ho riportato io) è molto breve, lo vedrai tra poco a lezione .
E lascia perdere Internet , anche se dice cose giuste ! Possibile che ai ragazzi non basti il libro di testo e le spiegazioni del prof , per capire e imparare ?
Su Internet si trovano a volte delle cose giuste , ma a volte delle grandi sciocchezze , se non veri e propri errori !
Buon lavoro .
se stai studiando il primo teorema dell'angolo esterno , ti conviene seguire il suggerimento di Giammaria per eseguire la dimostrazione che vuole la prof . Comunque il passo dal primo al secondo teorema ( quello che ti ho riportato io) è molto breve, lo vedrai tra poco a lezione .
E lascia perdere Internet , anche se dice cose giuste ! Possibile che ai ragazzi non basti il libro di testo e le spiegazioni del prof , per capire e imparare ?
Su Internet si trovano a volte delle cose giuste , ma a volte delle grandi sciocchezze , se non veri e propri errori !
Buon lavoro .
La soluzione mi è chiara: si ottiene applicando due volte il teorema.
Ho postato il link solo per brevità: la dimostrazione è uguale a quella del mio libro di testo.
Grazie di nuovo ad entrambi!
Ho postato il link solo per brevità: la dimostrazione è uguale a quella del mio libro di testo.
Grazie di nuovo ad entrambi!
Christian , mi fa piacere che hai capito . Mi sono divertito a fare un disegnino con Geogebra , e a caricarlo qui con TinyPic , giusto per vedere se funziona . Mi sembra di sì !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo