Problema con i fasci di rette
Salve a tutti, posto la mia prima richiesta!
Spero di non sbagliare con le formule
Ho questo problema di geometria analitica, che dice: "Nel fascio di rette di equazione $(2+k)x-3y+15+3k=0$, individua le rette che hanno originato il fascio e trova il centro del fascio C. Individua poi la retta a del fascio parallela alla bisettrice del primo quadrante. Determina successivamente la retta b del fascio che forma con gli assi cartesiani nel terzo quadrante un triangolo di area $6/5$. Sia c, infine, la retta di equazione $x+3y+6=0$: calcola l'area del triangolo formato dalle rette a, b e c"
Allora, le generatrici del fascio sono: $2x-3y+15=0$ e $x+3=0$. Le ho determinate usando le combinazioni lineari. Il centro del fascio è banalmente il punto di intersezione di tali rette: faccio un sistema e mi trovo $C(-3; 3)$. Ora arrivano i problemi, non riesco a rispondere alla prossima domanda, non riesco proprio a formalizzarla. Potete darmi un aiutino per favore?
Spero di non sbagliare con le formule
Ho questo problema di geometria analitica, che dice: "Nel fascio di rette di equazione $(2+k)x-3y+15+3k=0$, individua le rette che hanno originato il fascio e trova il centro del fascio C. Individua poi la retta a del fascio parallela alla bisettrice del primo quadrante. Determina successivamente la retta b del fascio che forma con gli assi cartesiani nel terzo quadrante un triangolo di area $6/5$. Sia c, infine, la retta di equazione $x+3y+6=0$: calcola l'area del triangolo formato dalle rette a, b e c"
Allora, le generatrici del fascio sono: $2x-3y+15=0$ e $x+3=0$. Le ho determinate usando le combinazioni lineari. Il centro del fascio è banalmente il punto di intersezione di tali rette: faccio un sistema e mi trovo $C(-3; 3)$. Ora arrivano i problemi, non riesco a rispondere alla prossima domanda, non riesco proprio a formalizzarla. Potete darmi un aiutino per favore?
Risposte
Quindi mi pare di capire che il primo problema da affrontare sia:
Individua poi la retta a del fascio parallela alla bisettrice del primo quadrante.
Allora basta che ricordi il concetto di parallelismo tra rette, e come viene espresso.
Individua poi la retta a del fascio parallela alla bisettrice del primo quadrante.
Allora basta che ricordi il concetto di parallelismo tra rette, e come viene espresso.
Sìsì, no no scusami mi sono sbagliato. Quello l'ho fatto, era abbastanza semplice rispondere. Il problema sta nel determinare l'equazione della retta b.
Scusa ancora!
Scusa ancora!
Io ricaverei in primis i punti (generici) in cui il fascio di rette interseca i due assi cartesiani. Fatto ciò, porrei il determinante della matrice formata dalle coordinate dei punti uguale a $6/5$.
Infatti, nel caso non lo sapessi, nel piano cartesiano l'area di un triangolo = $1/2|(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|$, dove $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ e $(x_3,y_3)$ sono le coordinate dei vertici di tale triangolo.
Infatti, nel caso non lo sapessi, nel piano cartesiano l'area di un triangolo = $1/2|(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|$, dove $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ e $(x_3,y_3)$ sono le coordinate dei vertici di tale triangolo.
Va ricordato che il triangolo deve stare nel III Q e quindi i punti in cui la retta intercetta gli assi $x $ e $ y $ devono avere rispettivamente ascissa e ordinata negativi.
Questo comporta una condizione su $k $ che dai miei conti deve essere $< -5 $ .Ti torna ?
Questo comporta una condizione su $k $ che dai miei conti deve essere $< -5 $ .Ti torna ?
"Camillo":
Va ricordato che il triangolo deve stare nel III Q e quindi i punti in cui la retta intercetta gli assi $x $ e $ y $ devono avere rispettivamente ascissa e ordinata negativi.
Questo comporta una condizione su $k $ che dai miei conti deve essere $< -5 $ .Ti torna ?
Parlavi con me?
Comunque si, mi torna
"Delirium":
Infatti, nel caso non lo sapessi, nel piano cartesiano l'area di un triangolo = $1/2|(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|$, dove $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ e $(x_3,y_3)$ sono le coordinate dei vertici di tale triangolo.
Ad essere sincera non andrei in cerca di grane con la matrice: il triangolo è rettangolo e i vertici sono sugli assi, l'area si calcola a mente.
Sono d'accordo con @melia, non complichiamoci la vita
@ delirium : lo dicevo a Iperboloide che è il più diretto interessato !
@ delirium : lo dicevo a Iperboloide che è il più diretto interessato !
La matrice verrebbe $1/2|(0,0,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|$ e quindi il determinante $1/2|x_2*y_3-x_3*y_2|$, non troppo ostico.
Comunque sia si, la soluzione di @melia è un po' più rapida e immediata.
Comunque sia si, la soluzione di @melia è un po' più rapida e immediata.
Comunque la matrice verrebbe $1/2|(0,0,1),(x_2,0,1),(0,y_3,1)|$ e quindi il determinante $1/2|x_2*y_3|$, esattamente il risultato che ho proposto io e che non crea problemi se iperboloide sa calcolare l'area con i determinanti di una matrice, un casino se non lo sa fare.
Grazie a tutti questi cervelli!
Comunque sì, abbiamo fatto qualcosa sulle matrici e i determinanti in seconda liceo. Questa formula per l'area è molto utile, ma non so perché né l'insegnante, né il libro ce l'abbia proposta. Grazie ancora, ora ricontrollo tutto e riprovo a risolvere la questione.
Comunque sì, abbiamo fatto qualcosa sulle matrici e i determinanti in seconda liceo. Questa formula per l'area è molto utile, ma non so perché né l'insegnante, né il libro ce l'abbia proposta. Grazie ancora, ora ricontrollo tutto e riprovo a risolvere la questione.
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