Problema con funzione e derivata

[vrijheid]

Non ho ben capito il procedimento per risolvere questo problema... Potreste aiutarmi?

1) Considerare la funzione reale f(x) = $ (ax^2+bx+c)/(x^2+px+q) $

Determinare a, b, c, p, q sapendo che:

-la retta y=2 è un asintoto orizzontale al grafico di f
-la retta x=0 è un asintoto verticale al grafico di f
- il grafico di f taglia l'asintoto orizzontale nel punto A di ascissa 1 e la tangente in A passa per l'origine
- f ha un massimo nel punto di ascissa x=3

In un passaggio delle soluzioni si dice che con y=2 si ricava a=2 ma non capisco perché...
Mentre con x=0 si ricava q=0 (ponendo x^2+px+q = 0)

Potreste aiutarmi a risolvere questo problema? Grazie mille

[minomic]

Ciao, il primo punto è piuttosto semplice: dato che $y=2$ è asintoto orizzontale deve valere $$\lim_{x\to\infty} f(x) = 2$$ Essendo la funzione il rapporto di due polinomi sappiamo che $$\lim_{x\to\infty} f(x)$$ è dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo, quindi $$a=2$$
Il secondo punto si fa in modo simile: il fatto che $x=0$ sia asintoto verticale significa che deve valere $$\lim_{x\to 0}f(x) = \infty$$ quindi il valore $0$ deve annullare il denominatore, e questo succede se $$q=0$$

[vrijheid]

Grazie!