Problema con forma indeterminata
Ciao a tutti,
sto cercando di svolgere questo esercizio:
$lim_(x->+infty)x*ln( (x+3)/(x+1) )$
In questo caso ho una forma di indeterminazione $infty*0$.
Il libro, a questo punto, suggerisce, poiche' $(x+3)/(x+1)-> 1$, di porre $(x+3)/(x+1) = 1 + ε(x)$ con $ε(x)$ infinitesima
A questo punto non so piu' andare avanti, nel senso che non so come scegliere $ε(x)$. O meglio se scelgo una funzione infinitesima, per dire $1/x$,
ottengo $1+1/x$, e $ln(1+1/x)$ e' asintotico $1/x$ quindi il limite posso riscriverlo come $x*1/x = 1$ ma e' sbagliato perche' il limite e' 2, quindi di sicuro non va bene.
Vorrei capire meglio i passaggi da fare, per arrivare al limite = 2
Grazie
sto cercando di svolgere questo esercizio:
$lim_(x->+infty)x*ln( (x+3)/(x+1) )$
In questo caso ho una forma di indeterminazione $infty*0$.
Il libro, a questo punto, suggerisce, poiche' $(x+3)/(x+1)-> 1$, di porre $(x+3)/(x+1) = 1 + ε(x)$ con $ε(x)$ infinitesima
A questo punto non so piu' andare avanti, nel senso che non so come scegliere $ε(x)$. O meglio se scelgo una funzione infinitesima, per dire $1/x$,
ottengo $1+1/x$, e $ln(1+1/x)$ e' asintotico $1/x$ quindi il limite posso riscriverlo come $x*1/x = 1$ ma e' sbagliato perche' il limite e' 2, quindi di sicuro non va bene.
Vorrei capire meglio i passaggi da fare, per arrivare al limite = 2
Grazie
Risposte
Secondo me il suggerimento è dato per ricondurre il tutto a qualche limite notevole.Se ricavi $epsilon(x)$ trovi che è $epsilon(x)=2/(x+1)$ che è effettivamente infinitesima per $x ->+oo$.Inoltre è pure $x=(2-epsilon)/(epsilon) $ che sostituito nell'espressione ti porta al risultato $lim_(epsilon->0)[(2-epsilon)*ln(1+epsilon)/epsilon]$=....
Ciao
Ciao
allora io farei così
$x*lg[(x+3)/(x+1)]=lg{[2/(x+1)+1]^x}$
ponendo $1/y=2/(x+1)$ avremo $x=2y-1$ per x->infty sarà anche y->infty
il limite risulterà quindi dopo le sostituzioni essere uguale a 2...
non ho capito sinceramente il libro come abbia intenzione di risolverlo...
$x*lg[(x+3)/(x+1)]=lg{[2/(x+1)+1]^x}$
ponendo $1/y=2/(x+1)$ avremo $x=2y-1$ per x->infty sarà anche y->infty
il limite risulterà quindi dopo le sostituzioni essere uguale a 2...
non ho capito sinceramente il libro come abbia intenzione di risolverlo...
ora ho capito anche come vuole risolverlo il libro grazie manlio 
Intanto grazie per le risposte.
Fatemi vedere se ho capito il ragionamento con un altro esercizio:
$lim_(x->+infty)( (x^2+3)/(x^2+2) )^x$
Riscrivo il limite come $lim_(x->+infty)e^(x*ln((x^2+3)/(x^2+2)))$
$ln((x^2+3)/(x^2+2)) = ln(1 + (1/(x^2+2)))$ che e' asintotico a $(1/(x^2+2))$ a sua volta asintotico a $(1/(x^2))$
Mi rimane $e^(x*1/x^2)$, semplifico ed ottengo $e^(1/x)$, che per x tendente a $+infty$ tende a $e^0$ cioe' 1
E' corretto?
Fatemi vedere se ho capito il ragionamento con un altro esercizio:
$lim_(x->+infty)( (x^2+3)/(x^2+2) )^x$
Riscrivo il limite come $lim_(x->+infty)e^(x*ln((x^2+3)/(x^2+2)))$
$ln((x^2+3)/(x^2+2)) = ln(1 + (1/(x^2+2)))$ che e' asintotico a $(1/(x^2+2))$ a sua volta asintotico a $(1/(x^2))$
Mi rimane $e^(x*1/x^2)$, semplifico ed ottengo $e^(1/x)$, che per x tendente a $+infty$ tende a $e^0$ cioe' 1
E' corretto?
il risultato è giusto... per il procedimento io ho fatto
$[(1/(x^2+2)+1)^(x^2)]^(1/x)$
da cui ponendo sempre $1/(x^2+2)=1/y$ e sostituendo si avrà come viene anche a te $e^(1/x)$
$[(1/(x^2+2)+1)^(x^2)]^(1/x)$
da cui ponendo sempre $1/(x^2+2)=1/y$ e sostituendo si avrà come viene anche a te $e^(1/x)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo