Problema con fascio di circonferenze

[caligola]

salve a tutti, vorrei chiedervi cortesemente di aiutarmi a svolgere questo esercizio di matematica.
Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze passanti per il punto

[math](1,2)[/math]

e aventi il centro sulla retta di equazione

[math]y=x+1[/math]

e determina in esso le circonferenze tangenti alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

sono stato assente, e non ho capito molto bene come si fa.
grazie a tutti per l'aiuto.

ps: so che è un po tardi, ma mi servirebbe entro stasera se non chiedo troppo.

:hi

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Ah ecco un'altra cosa.. mi sono dimenticato di scrivervi le soluzioni:

[math]x^2+y^2-x-3y+2=0 ; x^2+y^2-3x-5y+8=0[/math]

[BIT5]

Ricordando l'equazione canonica della circonferenza

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

E le coordinate del centro di questa

[math] x_C=- \frac{a}{2} \\ \\ \\ y_C=- \frac{b}{2} [/math]

Sappiamo che:

la circonferenza passa per il punto (1,2) e quindi sostituiamo le coordinate del punto:

[math] 1^2+2^2+a+2b+c=0 \to c=-a-2b-5 [/math]

Le coordinate stanno sulla retta y=x+1 , quindi sostituiamo le coordinate generiche del centro alla retta:

[math] y_C=x_C+1 \to - \frac{b}{2}=- \frac{a}{2}+1 \to b=a-2 [/math]

Quindi sappiamo che

[math] b=a-2 [/math]

e sostituendo al valore di c trovato con le condizioni di appartenenza del punto

[math] c=-a-2b-5 \to c=-a-2(a-2)-5 \to c=-a-2a+4-5 \to c=-3a-1 [/math]

Il fascio sara'

[math] x^2+y^2+ax+(a-2)y-3a-1=0 [/math]

Di queste infinite circonferenze, dobbiamo trovare le tangenti alla retta y=x

Troviamo le intersezioni generiche:

[math] \{ x^2+y^2+ax+(a-2)y-3a-1=0 \\ y=x[/math]

Sostituiamo a tutte le y, il valore dato dalla seconda:

[math] x^2+x^2+ax+(a-2)x-3a-1=0 [/math]

E dunque raccogliendo a fattore parziale la x

[math] 2x^2+x(a+a-2)-3a-1=0 \to 2x^2+2(a-1)x-3a-1=0 [/math]

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado, che rappresentano le ascisse dei punti di intersezione, saranno 2 se il delta e' maggiore di zero (due punti di intersezione distinti), due coincidenti (e quindi un punto solo di contatto e quindi retta tangente) se delta = 0 e nessuna (quindi retta esterna alla circonferenza) se delta < 0.

Detto questo, dunque, poniamo delta = 0

Posso usare Delta/4 in quanto il coefficiente di x e' pari (c'e' un 2 che volontariamente ho tenuto isolato)

[math] \frac{\Delta}{4}=0 \to (a-1)^2-2(-3a-1)=0 \to a^2-2a+1+6a+2=0 \to a^2+4a+3=0 [/math]

E quindi

[math] a^2+4a+3=0 \to (a+3)(a+1)=0 \to a=-1 \cup a=-3 [/math]

Sostituisci al fascio trovato prima un valore, poi l'altro, e trovi le due circonferenze del fascio tangenti alla retta y=x+1