Problema con equazioni irrazionali

[Khjacchia97]

Ciao a tutti
Oggi ho cominciato i compiti delle vacanze, ma ho qualche problema con questo esercizio:
"Considera due semicirconferenze y e y' tangenti internamente, di diametro rispettivamente AB:2r e AO:r. Da un punto H interno ad AO traccia la perpendicolare ad AO che incontra y in E e y' in F. Determina la misura di OH in modo tale che sia verificata la relazione \( BE + OF = r\sqrt{6} \)
Dunque, io ho calcolato che OF=rx ma, per quanto riguarda EB, mi vengono degli esponenti molto alti... Potresti dirmi cosa vi risulta EB? Grazie mille in anticipo

[Ev3nt]

Così a prima vista io porrei $x=HO$ e utilizzerei il teorema di euclide per impostare un'equazione tutta uguale a $rsqrt6$

[Luca114]

A prima vista avrei cercato di esprimere $BO$ e $OF$ in funzione di r e porre $OH= 1/2r$ ma la vedo dura.

[@melia]

"Luca":A prima vista avrei cercato di esprimere $BO$ e $OF$ in funzione di r e porre $OH= 1/2r$ ma la vedo dura.

H è un generico punto di AO, chi lo dice che OH debba valere proprio $1/2 r$?

Concordo, invece, con Ev3nt nel fatto che convenga prendere come incognita OH, $bar(OH)=x$ con la condizione $0

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[Khjacchia97]

Io ho impostato OH=x...
Poi ho applicato il primo teorema di Euclide al triangolo AFO da cui risulta FO= rx. Dopodiché ho applicato il primo teorema di Euclide a ABE per trovare AE e poi il teorema di Pitagora per EB... Ma poi mi vengono esponenti molto alti e viene una confusione assurda che non mi permette di svolgere l'equazione. Voi come lo fareste?

[Luca114]

Non debba , ma possa valere. Se $H$ è un punto generico sul segmento, allora potrebbe anche essere il punto medio imponendo quella condizione e poi calcolare r prendendo questa scorciatoia "illegale".
In effetti non riesce l'esercizio, ma se avesse funzionato sarebbe stata una bella "furbata".

@Khjacchia97
$r:OF=OF:x -> OF= sqrt(rx)$ O sbaglio?

[Khjacchia97]

Penso sia giusto... Ma non c'è un modo per risolverlo senza usare le similitudini?

[Luca114]

Un modo era quello che ho postato prima (indipendentemente da H come punto medio) ma credo che non si possa fare e se si potesse fare sarebbe ancora più complicato.
Aspettiamo altri consigli.

[Khjacchia97]

Va bene

[Ev3nt]

Ho impostato l'equazione ed in effetti e' abbastanza complessa, calcolata con wolfram il risultato viene $1/3r$
Con calma provero' a fare i passaggi.

[Khjacchia97]

In realtà il risultato finale dovrebbe essere $ OH=4r (4-sqrt(15)) $

[Ev3nt]

si ho fatto un errore scusa, non è l'ora per fare calcoli
ci riprovo domani...

[Ev3nt]

ok ho reimpostato l'equazione e ora il risultato corrisponde (non ci avrei dormito)
Come dicevo, posto $OH=x$ con $0 $sqrt(rx)+sqrt(2r(r+x))=rsqrt6$
Lascio a te i passaggi per risolverla, non è poi così terribile...buona notte...

[Khjacchia97]

ahahahahha grazie mille Anche io non mi do pace finché non riesco a risolverli