Problema con equazioni differenziali
Ho questo problema: quando una palla di neve si scioglie, il suo raggio diminuisce con una velocità proporzionale alla superficie della palla. Scrivi l’equazione differenziale che governa il fenomeno. Sapendo che all’inizio la palla ha un raggio di $6 cm$ e che dopo 6 minuti il raggio è di $4 cm$, determina la funzione che descrive il variare del raggio nel tempo t calcolato in minuti.
Credo di aver imparato a risolvere le tipologie più semplici di equazioni differenziali ordinarie, ora volevo vedere come applicarle ai problemi reali. Quel che vorrei capire di questo problema è il perchè dell'equazione differenziale. Se il problema non avesse specificato di scrivere un'equazione differenziale, io avrei fatto così: $r(t)=4pir^2(t)$. Ma evidentemente devo tradurre in termini differenziali questa legge(se è corretta). Quel che vorrei capire è perchè lo si fa e come lo si fa.
Potreste aiutarmi per favore?
Credo di aver imparato a risolvere le tipologie più semplici di equazioni differenziali ordinarie, ora volevo vedere come applicarle ai problemi reali. Quel che vorrei capire di questo problema è il perchè dell'equazione differenziale. Se il problema non avesse specificato di scrivere un'equazione differenziale, io avrei fatto così: $r(t)=4pir^2(t)$. Ma evidentemente devo tradurre in termini differenziali questa legge(se è corretta). Quel che vorrei capire è perchè lo si fa e come lo si fa.
Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
"ZfreS":
io avrei fatto così: $r(t)=4*π*r^2(t)$
Questa come l'hai costruita scusa????
io risolverei questa:
$-(dR)/dt=K*4*pi*R^2$
Quella che ho scritto è una legge che indica come cambia il raggio in base al tempo. Cosa indica quella che hai scritto tu? Potresti spiegarmela?
Risolta la mia dà:
$R=72/(t+12)$
E' corretto no?
la tua cosa ti dà risolta? Hai provato?
$R=72/(t+12)$
E' corretto no?
la tua cosa ti dà risolta? Hai provato?
"ZfreS":
Quella che ho scritto è una legge che indica come cambia il raggio in base al tempo. Cosa indica quella che hai scritto tu? Potresti spiegarmela?
Provo a spiegartela io: tu hai scritto che il raggio è uguale alla superficie. Il problema però diceva che la velocità di diminuzione del raggio (e quindi $-(dR)/(dt)$) è proporzionale (e quindi c'è un fattore $K$) alla superficie. Ne consegue l'equazione scritta da SirDanielFortesque , che non ho provato a risolvere.
Mi hai tolto le parole di bocca. il $-$ è perché il raggio decresce, quindi la derivata è negativa.
Ok, ho capito tutto tranne una cosa, perchè il problema si mette in gioco la derivata e non semplicemente un $(DeltaR)/(Deltat)$
"ZfreS":
$(ΔR)/(Δt)$
Perché il problema parla di $"velocità"$ non di una "$velocità media"$.
E quando si parla di velocità, si intende quella istantanea?
Dipende. In questo caso sì. L'argomento è "equazioni differenziali" per cui utilizzare i $\Delta$ sarebbe fuori luogo.
Ok, ho capito. C'era un'altra richiesta, ovvero calcolare il tempo che ci vuole per dimezzare il volume.
Sapendo che il volume della sfera è uguale a $4/3piR^3$, per dimezzarlo devo prima calcolare il volume conoscendo il raggio iniziale ovvero $6cm$ e poi dividere o no?
Sapendo che il volume della sfera è uguale a $4/3piR^3$, per dimezzarlo devo prima calcolare il volume conoscendo il raggio iniziale ovvero $6cm$ e poi dividere o no?
Se $R(0)=R_0$
il raggio della sfera che ha metà volume è:
$R_0/(root(3)(2))$
No? quindi...
il raggio della sfera che ha metà volume è:
$R_0/(root(3)(2))$
No? quindi...
Hai preso come $R_0$ il $4$ e non il $6$, il che è giusto anche se non so perchè. Ma come sei giunto a $R_0/(root(3)(2))$ ?
Perchè non c'è più $4/3pi$?
Perchè non c'è più $4/3pi$?
Io non ho preso niente come $R_0$
Semplicemente la sfera con metà del volume di una data di raggio $R_0$ ha raggio pari a $R_0/(root(3)(6))$
Prova a fare così:
$R_0=6$
$R'=R_0/root(3)(2)$
$R_0/root(3)(2)=6/root(3)(2)=72/(t+12)$
da cui hai:
$t=12*(root(3)(2)-1)$
Risulta dal libro?
Semplicemente la sfera con metà del volume di una data di raggio $R_0$ ha raggio pari a $R_0/(root(3)(6))$
Prova a fare così:
$R_0=6$
$R'=R_0/root(3)(2)$
$R_0/root(3)(2)=6/root(3)(2)=72/(t+12)$
da cui hai:
$t=12*(root(3)(2)-1)$
Risulta dal libro?
Si, torna, ma come ottieni che $R'=R_0/(root(3)(2))$ ?
Guarda io te lo spiego volentieri. Ma sappi che in quarta liceo non si dovrebbero avere di questi dubbi. Perché sono pericolosi. Pericolosi perché è la base di tutto. Altrimenti è come buttare mattoni in un pozzo.
Ci vorrebbe una certa capacità di gestire questo tipo di rapporti con le formule delle scuole medie, alla tua età.
Ad ogni modo, cerco di spiegarlo semplicemente.
Il problema, geometricamente, ti dice:
Data una sfera "A" di raggio $R_0$, che raggio deve avere una sfera $B$ che abbia metà del volume della sfera $A$?
Allora prendi il volume della sfera $A$
$V_A=4/3*pi*R_0^3$
Poi prendi il volume della sfera $B$
$V_B=4/3*pi*(R_0/\alpha)^3$
Dove $R_0$, naturalmente, è diviso per un certo fattore che dobbiamo determinare, pertanto impongo che sia verificato il vincolo iniziale:
$V_A=2*V_B$
OK?
Cioè:
$4/3*pi*R_0^3=2*4/3*pi*(R_0/\alpha)^3$
Semplifichi:
$R_0^3=2*(R_0/(\alpha))^3$
$R_0=root(3)(2)*(R_0)/(\alpha)$
$\alpha=root(3)(2)$
Quindi la sfera $B$ deve avere raggio $R'=R_0/(root(3)(2))$
Guarda non do la colpa a te che per il fatto che non sei riuscito ad applicare la formula del volume della sfera. Spero che tu abbia avuto solo una svista perché se uno mi fa le derivate e poi si blocca sulla geometria elementare solo di questo si può trattare. E comunque resta grave. Perdonami la filippica.
Ci vorrebbe una certa capacità di gestire questo tipo di rapporti con le formule delle scuole medie, alla tua età.
Ad ogni modo, cerco di spiegarlo semplicemente.
Il problema, geometricamente, ti dice:
Data una sfera "A" di raggio $R_0$, che raggio deve avere una sfera $B$ che abbia metà del volume della sfera $A$?
Allora prendi il volume della sfera $A$
$V_A=4/3*pi*R_0^3$
Poi prendi il volume della sfera $B$
$V_B=4/3*pi*(R_0/\alpha)^3$
Dove $R_0$, naturalmente, è diviso per un certo fattore che dobbiamo determinare, pertanto impongo che sia verificato il vincolo iniziale:
$V_A=2*V_B$
OK?
Cioè:
$4/3*pi*R_0^3=2*4/3*pi*(R_0/\alpha)^3$
Semplifichi:
$R_0^3=2*(R_0/(\alpha))^3$
$R_0=root(3)(2)*(R_0)/(\alpha)$
$\alpha=root(3)(2)$
Quindi la sfera $B$ deve avere raggio $R'=R_0/(root(3)(2))$
Guarda non do la colpa a te che per il fatto che non sei riuscito ad applicare la formula del volume della sfera. Spero che tu abbia avuto solo una svista perché se uno mi fa le derivate e poi si blocca sulla geometria elementare solo di questo si può trattare. E comunque resta grave. Perdonami la filippica.
$4/3*pi*R_0^3=2*4/3*pi*(R_0/\alpha)^3$. Era questo il passaggio cruciale, al quale non ho pensato. Non è la geometria, è il ragionamento che hai fatto che mi mancava. Ti ringrazio davvero tanto per avermi seguito anche questa volta spiegandomi tutti i passaggi. Buona serata!
Figurati. E altrettanto a te. Ciao!
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