Problema con due disequazioni trigonometriche
Ciao ragazzi, dovrei risolvere queste due disequazione trigonometriche...
Anche se ho qualche problema nel risolverle.
Potreste aiutarmi?
Eccole:
1) $ sin2x - sqrt2 (sinx + cosx) + 1 > 0 $
2) $ arccos (log (sine^x)) - 2/3 Pi >=0 $ (il logaritmo è in base 2, solo che non riuscivo ad inserirlo in formula)
Inizio col dirvi come ho impostato la seconda disequazione
Essendo che di solito se ho cos(x) = a faccio arcocos (a) = x, ho posto:
$ arccos(2/3 Pi) >= (log (sine^x)) -> -1/2 >= log (sin(e^x)) -> sin (e^x) <= sqrt2$
Quindi il risultato mi viene per ogni x
E' sbagliato come ragionamento?
Vi ringrazio, a presto!
Anche se ho qualche problema nel risolverle.
Potreste aiutarmi?
Eccole:
1) $ sin2x - sqrt2 (sinx + cosx) + 1 > 0 $
2) $ arccos (log (sine^x)) - 2/3 Pi >=0 $ (il logaritmo è in base 2, solo che non riuscivo ad inserirlo in formula)
Inizio col dirvi come ho impostato la seconda disequazione
Essendo che di solito se ho cos(x) = a faccio arcocos (a) = x, ho posto:
$ arccos(2/3 Pi) >= (log (sine^x)) -> -1/2 >= log (sin(e^x)) -> sin (e^x) <= sqrt2$
Quindi il risultato mi viene per ogni x
E' sbagliato come ragionamento?
Vi ringrazio, a presto!
Risposte
Ciao, partiamo allora dalla seconda!
Chiamiamo $y$ tutta quella roba dentro l'arcocoseno e facciamo delle considerazioni: il dominio di questa funzione è $[-1 ; 1]$ ed è una funzione decrescente... dunque abbiamo che
$arccosy>=2/3pi$ ovvero, per definizione, $y<=cos(2/3pi)$ !!
Questo perché $cos$ è la funzione inversa di $arccos$ la quale è decrescente e dobbiamo dunque invertire il verso della disequazione.
Allora $y<=cos(2/3pi) rarr y<=-1/2$ a cui dobbiamo aggiungere quel $-1$ che è l'estremo del dominio... in definitiva:
$-1<=y<=-1/2$ da qui puoi andare avanti
Chiamiamo $y$ tutta quella roba dentro l'arcocoseno e facciamo delle considerazioni: il dominio di questa funzione è $[-1 ; 1]$ ed è una funzione decrescente... dunque abbiamo che
$arccosy>=2/3pi$ ovvero, per definizione, $y<=cos(2/3pi)$ !!
Questo perché $cos$ è la funzione inversa di $arccos$ la quale è decrescente e dobbiamo dunque invertire il verso della disequazione.
Allora $y<=cos(2/3pi) rarr y<=-1/2$ a cui dobbiamo aggiungere quel $-1$ che è l'estremo del dominio... in definitiva:
$-1<=y<=-1/2$ da qui puoi andare avanti
"andar9896":
Ciao, partiamo allora dalla seconda!
Perfetto, non avevo considerato il fatto che deve essere anche maggiore di -1!
Grazie
Scusate se mi inserisco nella discussione, stavo provando a risolvere la prima disequazione, e procedevo con la seguente trasformazione:
dalle formule di duplicazione ho che $sin (2x)=2sinxcosx $,
sostituendo ho:
$2sinxcosx-sqrt(2)(sinx+cosx)+1>0$,
Inoltre se non ricordo male, dal cerchio trigonometrico ricavo
$sin^2(x)+cos^2(x)=1$ quindi $(sin(x)+cos (x))^2=sin^2 (x)+cos^2(x)+2sinxcosx=1+2sincosx $,
sostituendo nella disequazione di partenza avro:
$2sinxcosx+1-sqrt (2)(sinx+cosx)=(sinx+cosx)^2-sqrt (2)(sinx+cosx)>0$
e ponendo $(sinx+cosx)=t$, la nostra disequazione diventa
$t^2+sqrt (2)t>0$, da qui, ridotta in questa forma si puo procedere per la soluzione;
Secondo voi va bene come idea?
dalle formule di duplicazione ho che $sin (2x)=2sinxcosx $,
sostituendo ho:
$2sinxcosx-sqrt(2)(sinx+cosx)+1>0$,
Inoltre se non ricordo male, dal cerchio trigonometrico ricavo
$sin^2(x)+cos^2(x)=1$ quindi $(sin(x)+cos (x))^2=sin^2 (x)+cos^2(x)+2sinxcosx=1+2sincosx $,
sostituendo nella disequazione di partenza avro:
$2sinxcosx+1-sqrt (2)(sinx+cosx)=(sinx+cosx)^2-sqrt (2)(sinx+cosx)>0$
e ponendo $(sinx+cosx)=t$, la nostra disequazione diventa
$t^2+sqrt (2)t>0$, da qui, ridotta in questa forma si puo procedere per la soluzione;
Secondo voi va bene come idea?
Stavo cercando anche io, senza successo, un modo per risolvere la prima ... la tua soluzione mi piace tantissimo e credo vada più che bene 
"francicko":
Secondo voi va bene come idea?
Grande! Si, effettivamente c'era bisogno proprio di un'intuizione. Grazie, davvero
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