Problema con Differenziali
Salve,
avrei bisogno di aiuto per quest ultimo punto di un problema
"Il professore vuole creare un sito di e-commerce sia per pubblicizzare il borgo che per vendere i propri articoli. Vorrebbe che il suo sito fosse visitato dal almeno $100000$ potenziali acquirenti. Assumendo che la velocità di crescita del numero dei potenziali visitatori che vengono a conoscenza del sito è proporzionale al $20%$ del numero di persone che ancora non lo conoscono, e che all'inizio il sito non sarà noto. Si vuole stimare dopo un anno quanti potenziali visitatori conosceranno il sito (t è espresso in settimane)"
Provo ad esporre quello che ho pensato
Interpretando matematicamente il testo capisco che la velocità di crescita dei potenziali visitatori che vengono a conoscenza del sito è la derivata prima di A(visitatori) nel tempo -> $A'$. A questo punto posso scrivere una relazione del genere $A'= (20/100)^(kt)B$. Dove $B$ è le persone che non conoscono ancora il sito e $k$ è un generico coefficiente di proporzionalità (che però il testo non esplicita...). Ora il problema è come scrivere $B$, è giusto dire che è uguale $100000-A$.
Insomma il mio ragionamento non mi convince molto e vorrei un vostro parere. Ancora una volta però mi trovo in difficoltà di fronte ad un testo, secondo me, non troppo chiaro. Sono io poco abituato a questo tipo di situazioni?
avrei bisogno di aiuto per quest ultimo punto di un problema
"Il professore vuole creare un sito di e-commerce sia per pubblicizzare il borgo che per vendere i propri articoli. Vorrebbe che il suo sito fosse visitato dal almeno $100000$ potenziali acquirenti. Assumendo che la velocità di crescita del numero dei potenziali visitatori che vengono a conoscenza del sito è proporzionale al $20%$ del numero di persone che ancora non lo conoscono, e che all'inizio il sito non sarà noto. Si vuole stimare dopo un anno quanti potenziali visitatori conosceranno il sito (t è espresso in settimane)"
Provo ad esporre quello che ho pensato
Interpretando matematicamente il testo capisco che la velocità di crescita dei potenziali visitatori che vengono a conoscenza del sito è la derivata prima di A(visitatori) nel tempo -> $A'$. A questo punto posso scrivere una relazione del genere $A'= (20/100)^(kt)B$. Dove $B$ è le persone che non conoscono ancora il sito e $k$ è un generico coefficiente di proporzionalità (che però il testo non esplicita...). Ora il problema è come scrivere $B$, è giusto dire che è uguale $100000-A$.
Insomma il mio ragionamento non mi convince molto e vorrei un vostro parere. Ancora una volta però mi trovo in difficoltà di fronte ad un testo, secondo me, non troppo chiaro. Sono io poco abituato a questo tipo di situazioni?
Risposte
Problema con equazioni differenziali
Se ho interpretato bene il problema ,e chiamando $x$ quelli tra i $100.000$ potenziali acquirenti che già conoscono il sito,dovremmo avere un problema di Cauchy del tipo
$ dot(x)=0,2k(100.000-x )$
$ x(0)=0 $
che ha come soluzione
$x=100.000(1-e^(-0,2kt))$
Se ho interpretato bene il problema ,e chiamando $x$ quelli tra i $100.000$ potenziali acquirenti che già conoscono il sito,dovremmo avere un problema di Cauchy del tipo
$ dot(x)=0,2k(100.000-x )$
$ x(0)=0 $
che ha come soluzione
$x=100.000(1-e^(-0,2kt))$
Chiamando $100.000=M_o$ il numero di visitatori finali che si vuole raggiungere e $M(t)$ la funzione che in ogni istante $t$ rende il numero di visitatori che hanno visitato la pagina fino all'istante $t$, il problema in matematichese non dice altro che:
$M'(t)=1/5(M_o-M(t))$ , che si risolve facilmente separando le variabili.
Quindi per rispondere alla tua domanda, si, è giusto scrivere $B=100.000-A$, ma sbagli quando scrivi $A'=(20/100)^(kt)B$, la relazione giusta è quella scritta da me e da @quantunquemente, io ho comunque tralasciato la costante di proporzionalità dato che mi sembra che se essa è arbitraria non si possa rispondere in modo univoco alla domanda del problema.
$M'(t)=1/5(M_o-M(t))$ , che si risolve facilmente separando le variabili.
Quindi per rispondere alla tua domanda, si, è giusto scrivere $B=100.000-A$, ma sbagli quando scrivi $A'=(20/100)^(kt)B$, la relazione giusta è quella scritta da me e da @quantunquemente, io ho comunque tralasciato la costante di proporzionalità dato che mi sembra che se essa è arbitraria non si possa rispondere in modo univoco alla domanda del problema.
Ne approfitto per una richiesta
Siccome l'esame di maturità è cambiato e vengono proposti questi problemi "raccontati" in italiano a volte poco chiaro che rimandano sempre a equazioni differenziali... esiste qualche sito-libro per prepararsi a tale nuovo evento?
Siccome l'esame di maturità è cambiato e vengono proposti questi problemi "raccontati" in italiano a volte poco chiaro che rimandano sempre a equazioni differenziali... esiste qualche sito-libro per prepararsi a tale nuovo evento?
Il nuovo esame di maturità (intendo matematica ai licei scientifici) è in evoluzione, per cui non è ancora chiaro come sarà in futuro. Per quest'anno ci saranno i due problemi e i 10 quesiti, all'interno di questo uno dei problemi avrà le caratteistiche degli anni passati e l'altro, invece, di tipo raccontato. Anche all'interno dei 10 quesiti ce ne saranno alcuni raccontati, ma solo sul programma del quinto anno. Il problema principale è che non sa quale sarà il programma del quinto anno perché le linee guida hanno un sacco di contenuti, ma la simulazione del ministero conteneva esercizi sulle serie che non sono presenti nei contenuti delle linee guida.
Grazie a tutti per l'aiuto, ora mi è più chiaro il problema. Le cose che però mi lasciano perplesso sono due.
1) "Vorrebbe che il suo sito fosse visitato dal almeno 100000 potenziali acquirenti". A questo punto visto il problema l'avverbio almeno è inutile e secondo me confonde solo le idee
2) Non inserendo un coefficiente di proporzionalità non stiamo dicendo che le persone che lo conoscono variano periodicamente di settimana in settimana quando invece potrebbero esserci delle variazioni consistenti anche nell'arco settimana? (Non so se mi sono espresso chiaramente)
In ogni caso questo problemino è ripreso da un problema propostomi dalla mia prof.ssa. Potete trovare il testo a questo indirizzo http://www.liceoalberti.it/SpazioW/scar ... izzati.pdf insieme ad un altro problema sempre dello stesso genere. Li ho già svolti ma non voglio commentare, lascio prima a voi il piacere di dargli un occhiata.
(Attenzione al problema 1, non lo consiglio ai meno sdolcinati
)
1) "Vorrebbe che il suo sito fosse visitato dal almeno 100000 potenziali acquirenti". A questo punto visto il problema l'avverbio almeno è inutile e secondo me confonde solo le idee
2) Non inserendo un coefficiente di proporzionalità non stiamo dicendo che le persone che lo conoscono variano periodicamente di settimana in settimana quando invece potrebbero esserci delle variazioni consistenti anche nell'arco settimana? (Non so se mi sono espresso chiaramente)
In ogni caso questo problemino è ripreso da un problema propostomi dalla mia prof.ssa. Potete trovare il testo a questo indirizzo http://www.liceoalberti.it/SpazioW/scar ... izzati.pdf insieme ad un altro problema sempre dello stesso genere. Li ho già svolti ma non voglio commentare, lascio prima a voi il piacere di dargli un occhiata.
(Attenzione al problema 1, non lo consiglio ai meno sdolcinati
)
"@melia":
Il nuovo esame di maturità (intendo matematica ai licei scientifici) è in evoluzione, per cui non è ancora chiaro come sarà in futuro. Per quest'anno ci saranno i due problemi e i 10 quesiti, all'interno di questo uno dei problemi avrà le caratteistiche degli anni passati e l'altro, invece, di tipo raccontato. Anche all'interno dei 10 quesiti ce ne saranno alcuni raccontati, ma solo sul programma del quinto anno. Il problema principale è che non sa quale sarà il programma del quinto anno perché le linee guida hanno un sacco di contenuti, ma la simulazione del ministero conteneva esercizi sulle serie che non sono presenti nei contenuti delle linee guida.
Chiaro. Grazie @Melia
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