Problema con De l'Hopital

[Uomo dalle sette stelle]

Il testo mi da un esercizio sullo studio di funzione.
Ho la funzione $y= e^((x-1)/x)$
Il dominio è R - [0]
i limiti del dominio
$\lim_{x \to \-infty}y=e$ e $\lim_{x \to \+infty}y=e$ asintoto orizzontale
$\lim_{x \to \0^-}y=+infty$ e $\lim_{x \to \0^+}y=0$ asintoto verticale sinistro


$y^{\prime}= e^((x-1)/x)*1/x^2$ risulta $y^{\prime}>0 AA x in D$

la F è sempre crescente per x<=0 e per x>0 e non ha massimi e minimi
$y^{''}= e^((x-1)/x)*1/x^4-e^((x-1)/x)2/x^3=(e^((x-1)/x))/x^4(1-2x)>=0 -> x <=1/2$

Nel punto $(1/2;1/e)$ c'è un punto di flesso.

Un po' a fatica ma son riuscito a capire i vari passaggi;

l'impiccio arriva adesso:"applicando opportunamente il teorema di De l'Hopital" si trova:
$\lim_{x \to \0^+}y^{\prime}=0$

Si ha che la curva ha nell'origine un punto di partenza (con tg orizzontale) che non appartiene al grafico.

Non sono riuscito a capire quali sono I passaggi di l'Hopital . Io ho fatto un po' di prove, ma mi venivano sequenze lunghe, grosse e che non sapevo gestire. Sopravvivo anche senza, ma avrei piacere di vedere questi benedetti passaggi.

[Shocker1]

Ciao


Ecco a te: $lim_(x->0^+) (e^(1-1/x))* 1/x^2 = e*lim_(x->0^+) 1/e^(1/x) * 1/x^2$. Applichiamo una sostituzione: $t = 1/x$, quindi $e*lim_(x->0^+) 1/e^(1/x) * 1/x^2 = e*lim_(t->+oo) t^2/e^t$ [tex]\overset{H}{=}[/tex] $e*lim_(t->+oo) (2t)/e^t $ [tex]\overset{H}{=}[/tex] $ e*lim_(t->+oo) 2/e^t =0$.
Comunque è un limite che si può e si deve risolvere senza l'uso di De L'Hopital(si risolve attraverso il confronto di infiniti).

Tutto chiaro?


Ciao