Problema con circonferenze tangenti esternamente.
Ecco i soliti problemi con circonferenze che mi creano difficoltà:
Sono date due circonferenze tangenti esternamente nel punto A e di raggi $ bar(AO)=3*r $ e $ bar(AO')=r $ .Sia t una tangente comune alle due circonferenze e sia B il punto di contatto di t con la circonferenza di centro O e C quello con la circonferenza di centro O'.Indicato con S il punto d'incontro di t con la tangente comune in A ,dimostrare che il triangolo OSO' è rettangolo e determinare le lunghezze di BC ,AB ,AC e le ampiezze degli angoli del trapezio OO'CB.
Se già ho difficoltà con la prima parte del problema figuriamoci il resto
.
Chiamo $ K $ il punto di intersezione di $ bar(OS) $ con $ bar(BA) $ .
Chiamo $ H $ il punto di intersezione di $ bar(SO') $ con $ bar(AC) $ .
Mi accorgo che gli angoli SKA E SHA sono retti.
Adesso però mi serve un altro angolo...E qui vengono le mie difficoltà.
SO e SO' sono perpendicolari rispettivamente a ad AB e AC
Entrambe escono da S...Rette perpendicolari uscenti da uno stesso punto formano un angolo di 90 gradi...MMM...Che io ricordi non c'è nessun teorema che lo dice.
Sposto l'attenzione sui triangoli SKA e SHA
hanno SA in comune,un angolo di 90 gradi e poi manca un elemento....I due triangoli mi sa che non possono essere congruenti anche perchè le circonferenze sono diverse.
BS è congruente a SC ma i triangoli BKS E SHC mi sa che non possono essere congruenti pure loro
Dovrei dimostrare che BA è parallelo a SO' ...Cioè dovrei dimostrare che l'angolo SO'A è congruente a KAO che è pari a 45 gradi
Mannaggia...Ma come devo ragionare con le circonferenze?Sto pensando a tutti i teoremi studiati...La distanza dei loro centri è pari alla somma dei raggi...ma qui devo lavorare con gli angoli.
SOA E SAO' sono retti in A.
mi vengono alla mente i teoremi della tangente e della secante ma qui devo lavorare con gli angoli!!!
Sono date due circonferenze tangenti esternamente nel punto A e di raggi $ bar(AO)=3*r $ e $ bar(AO')=r $ .Sia t una tangente comune alle due circonferenze e sia B il punto di contatto di t con la circonferenza di centro O e C quello con la circonferenza di centro O'.Indicato con S il punto d'incontro di t con la tangente comune in A ,dimostrare che il triangolo OSO' è rettangolo e determinare le lunghezze di BC ,AB ,AC e le ampiezze degli angoli del trapezio OO'CB.
Se già ho difficoltà con la prima parte del problema figuriamoci il resto
.Chiamo $ K $ il punto di intersezione di $ bar(OS) $ con $ bar(BA) $ .
Chiamo $ H $ il punto di intersezione di $ bar(SO') $ con $ bar(AC) $ .
Mi accorgo che gli angoli SKA E SHA sono retti.
Adesso però mi serve un altro angolo...E qui vengono le mie difficoltà.
SO e SO' sono perpendicolari rispettivamente a ad AB e AC
Entrambe escono da S...Rette perpendicolari uscenti da uno stesso punto formano un angolo di 90 gradi...MMM...Che io ricordi non c'è nessun teorema che lo dice.
Sposto l'attenzione sui triangoli SKA e SHA
hanno SA in comune,un angolo di 90 gradi e poi manca un elemento....I due triangoli mi sa che non possono essere congruenti anche perchè le circonferenze sono diverse.
BS è congruente a SC ma i triangoli BKS E SHC mi sa che non possono essere congruenti pure loro
Dovrei dimostrare che BA è parallelo a SO' ...Cioè dovrei dimostrare che l'angolo SO'A è congruente a KAO che è pari a 45 gradi
Mannaggia...Ma come devo ragionare con le circonferenze?Sto pensando a tutti i teoremi studiati...La distanza dei loro centri è pari alla somma dei raggi...ma qui devo lavorare con gli angoli.
SOA E SAO' sono retti in A.
mi vengono alla mente i teoremi della tangente e della secante ma qui devo lavorare con gli angoli!!!
Risposte
Ti do solo qualche suggerimento e poi fai tu; a prima vista direi che la trigonometria è del tutto inutile.
Il teorema da usare per la prima domanda è quello delle due tangenti: "Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano le due tangenti ad essa, i segmenti di tangente sono uguali e la congiungente quel punto col centro è bisettrice dell'angolo fra loro". Si possono aggiungere anche altre tesi, ma queste sono le due che ti servono (una per la prima domanda e l'altra più avanti). Una volta dimostrato che il triangolo OSO' è rettangolo, nota che ne conosci l'ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Il teorema da usare per la prima domanda è quello delle due tangenti: "Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano le due tangenti ad essa, i segmenti di tangente sono uguali e la congiungente quel punto col centro è bisettrice dell'angolo fra loro". Si possono aggiungere anche altre tesi, ma queste sono le due che ti servono (una per la prima domanda e l'altra più avanti). Una volta dimostrato che il triangolo OSO' è rettangolo, nota che ne conosci l'ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Giammaria ho usato anche il teorema che hai detto ma non capisco come dimostrare ad esempio che SOA e SO'A sono triangoli rettangoli isosceli perchè se no sarebbe fatta.
Aspè che forse ho capito..
Comunque quel teorema che dici l'ho pensato e adesso ho capito come fare...
Dopo varie tribolazioni sono arrivato anche io alla soluzione di Vittorino. Grazie ancora!!!!
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