Problema con circonferenza

[pequena]

ciao ragazzi mi potete aiutare a risolvere questo probleme?

sia data nel piano cartesiano la circonferenza C1 di raggio 1 e centro o(0;0)
1) trovere le circonferenze C2 e C3 appartenenti al primo quadrant, tangenti agli assi x e y e tangenti a C1 (rispettivamente interna e esterna)

2) le circonferenze C2 e C3 determinano tre regioni finite appartenenti al primo quadrante ed esterni a C2 e C3. Trovare l'area complessiva.

[BIT5]

la circonferenza C1 è quella goniometrica ed ha equazione:

[math]x^2+y^2=1[/math]

Questo perchè, comunque, tutte le circonferenze aventi centro nell'origine e raggio r hanno equazione

[math]x^2+y^2=r^2[/math]

Consideriamo poi la circonferenza generica:

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

Di centro

[math]\left( - \frac{a}{2}, - \frac{b}{2} \right)[/math]

E poniamo che per

[math]x= - \frac{a}{2} \ y=0[/math]

(condizione di tangenza: se provi a disegnare tutte le circonferenze tangenti agli assi, vedrai che, dal momento che gli assi sono perpendicolari e uno "orizzontale" e uno "verticale", i punti di tangenza hanno tutti x del centro e y del centro...

Quindi analogamente

[math]y= - \frac{b}{2} \ x=0[/math]

.

In verità, per il discorso fatto prima, dovresti notare che il fascio di circonferenze tangenti ad entrambi gli assi nel primo quadrante, ha la particolarità di avere sempre

[math]x_c=y_c[/math]

E pertanto

[math]- \frac{a}{2}= - \frac{b}{2} \\ a=b[/math]

Poi metti a sistema la circonferenza con questo requisiti con la circonferenza C1 e trovi le uniche due circonferenze appartenenti a questo fascio ed anche tangenti a C1.

Il 2 non lo capisco.. Non capisco di quali 3 regioni si parli! Mi dispiace.

[ciampax]

Dunque, le circonferenze possibili, come dice BIT5, devono avere centro sulla retta

[math]y=x[/math]

(bisettrice del primo quadrante) e quindi hanno tutte la forma

[math]x^2+y^2+ax+ay+c=0[/math]

Ora, il punto di intersezione tra le circonferenze si deve trovare sulla circonferenza

[math]x^2+y^2=1[/math]

e sulla retta

[math]y=x[/math]

, da cui

[math]P(1/sqrt{2},1/\sqrt{2})[/math]

. Andando a sostituire queste coordinate nell'equazione della circonferenza del fascio si ha

[math]1+\frac{2a}{\sqrt{2}}+c=0[/math]

da cui

[math]c=-1-a\sqrt{2}[/math]

.

Le circonferenze del fascio, dovendo essere tangenti agli assi, toccheranno questi nei punti

[math](-a/2,0),\ (0,-a/2)[/math]

e quindi, andando a sostituire una di queste due coordinate nell'equazione generica si ottiene la condizione

[math]a^2/4-a^2/+c=0[/math]

Ma allora, dalla precedente si ha l'equazione per

[math]a[/math]

[math]-a^2/4-1-a\sqrt{2}=0\Leftrightarrow a^2+4\sqrt{2}) a+4=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]a_{1,2}=\frac{-4\sqrt{2})\pm\sqrt{32-16}}{2}=-2\sqrt{2}\pm 2[/math]

e quindi

[math]c=3\mp 2\sqrt{2}[/math]

e quindi le circonferenze sono

[math]x^2+y^2+(-2-2\sqrt{2})x+(-2-2\sqrt{2})y+3+2\sqrt{2}=0[/math]

e

[math]x^2+y^2+(-2+2\sqrt{2})x+(-2+2\sqrt{2})y+3-2\sqrt{2}=0[/math]