Problema coi limiti

[89mary-votailprof]

http://img69.imageshack.us/img69/2494/probfi0.jpg
detti P un punto di un arco AB di una semicirconferenza di centro O e raggio r e T il punto in cui la semiretta OP incontra la tangente in A all'arco, calcola:
a) $lim_(P->A)(PT)/(AT)$

b) $lim_(P->A)(AP)/(AT)$

c) $lim_(P->A)(AP)/(AT)$ AP qui è l'arco
i risultati sono 0,1,1.

per il primo ho fatto AT=AO*tga(a è l'angolo alfa che ho messo nel disegno)
quindi AT=rtga.
poi sapendo che AT=TO*sena ho trovato TO=$r/cosa$ da cui TP=$(r(1-cosa))/cosa$
pertanto il primo lim è
$lim_(a->0) (1-cosa)/(sena)$ che è la tg di a/2, e quindi =0.
fin qui tutto ok. ma poi gli altri due limiti non mi trovo con i risultati.
ho calcolato AP=$2rsena/2$, ma quando calcolo il secondo limite:
$lim_(a->0) 2sena/2 *cotga$ come fa a essere uguale a 1?
stessa cosa per l'ultimo.
l'arco AP=$(a2pi)/360$ e per calcolare il limite
$lim_(a->0) (a2pi)/360 * cosa/(sena)$
mi aiutate?grazie mille in anticipo

[MaMo2]

"sweet swallow":
...
ho calcolato AP=$2rsena/2$, ma quando calcolo il secondo limite:
$lim_(a->0) 2sena/2 *cotga$ come fa a essere uguale a 1?
....

Si. Quel limite fa 1.

...
stessa cosa per l'ultimo.
l'arco AP=$(a2pi)/360$ e per calcolare il limite
$lim_(a->0) (a2pi)/360 * cosa/(sena)$
mi aiutate?grazie mille in anticipo

L'arco AP è $r *alpha$ per cui il limite diventa:

$lim_(alpha->0) alphacotalpha=1$.

[89mary-votailprof]

"MaMo":[quote="sweet swallow"]
...
ho calcolato AP=$2rsena/2$, ma quando calcolo il secondo limite:
$lim_(a->0) 2sena/2 *cotga$ come fa a essere uguale a 1?
....

Si. Quel limite fa 1. [/quote]
come fa a essere uguale a 1? io non capisco non viene uguale a 0? sen a/2 non fa 0 e quindi tutto =0?

[G.D.5]

$cotg(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sen(\alpha)}$ quindi in $\alpha=0$ la tua funzione sotto limite non è definita, quindi non è continua ergo non puoi mettere $0$ dentro e fare i calcoli.

[G.D.5]

Io farei così: $2*\sen(\frac{\alpha}{2})*cotg(\alpha)=2*\sen(\frac{\alpha}{2})*\frac{\cos(\alpha)}{\sen(\alpha)}=\sen(\frac{\alpha}{2})*\frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sen^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sen(\frac{\alpha}{2})*\cos(\frac{\alpha}{2})}=\frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sen^2(\frac{\alpha}{2})}{cos(\frac{\alpha}{2})}$

Adesso si può mettere $0$ dentro e ottenere $1$.

[89mary-votailprof]

ah tutto chiaro! grazie mille wizard e grazie anche a te mamo
anche nell'ultimo limite però ho qualche dubbio devo sempre trasformare la cotg come hai fatto tu qui?

[Steven11]

"sweet swallow":ah tutto chiaro! grazie mille wizard e grazie anche a te mamo
anche nell'ultimo limite però ho qualche dubbio devo sempre trasformare la cotg come hai fatto tu qui?

Spesso è inevitabile, perchè si fa compare il seno.
Quindi si può usare il limite notevole ben noto.
Molto più brutalmente, io avrei sfruttato il fatto che
$xto0 \implies sinx\approx x$ pertanto
$lim_(xto0) 2*\sen(\frac{\x}{2})*cotg(\x)=lim_(xto0)2*x/2*(cosx/x)=1$

[Steven11]

L'ultimo limite è banale
$lim_(x rarr0)xcotx=lim_(x rarr0)xcosx/sinx=lim_(x rarr0)x/sinx*cosx=lim_(x rarr0)1*1=1$

[89mary-votailprof]

grazie mille steven

[Steven11]

Prego.