Problema circonferenza

[lordb]

Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per l'origine ed è tangente alla retta $ x-2y-1=0 $ nel punto di ascissa $2$

ho trovato la perpendicolare $ y = -2x + 9/2 $ alla tangente nel punto $A(2,1/2)$ ma non riesco a risalire al centro sfruttando quel $ gamma = 0 $ o a qualcos'altro di utile.

Aiutatemi perfavore che non riesco a dormire senza saperlo !!!!

[jellybean22]

Ciao, tu hai i due punti ovvero A(2,$1/2$) e l'origine O(0,0) più la retta tangente alla circonferenza per cui hai trovato giustamente la perpendicolare a quest'ultima passante per A. Ora per trovare il centro basta che trovi l'equazione dell'asse di AO e successivamente metterla a sistema con l'equazione della perpendicolare trovata prima.

Spero di essere stato chiaro, ciao .

[WiseDragon]

Ciao
Puoi anche ragionare in questo modo:
1) Imponi che la circonferenza passi per l'origine O
2) Imponi che la circonferenza passi per l'origine A
3) Imponi che il centro appartenga alla perpendicolare che hai trovato

Tre parametri - tre condizioni : problema risolto.

[G.D.5]

@lordb
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[franced]

"lordb":Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per l'origine ed è tangente alla retta $ x-2y-1=0 $ nel punto di ascissa $2$

L'esercizio può essere risolto scrivendo, per prima cosa, l'equazione del fascio
di circonferenze tangenti alla retta [tex]x - 2\,y - 1 = 0[/tex] nel punto [tex]T \left( 2 \,;\, \dfrac{1}{2} \right)[/tex]:

[tex](x - 2)^2 + \left( y - \dfrac{1}{2} \right)^2 + \lambda (x - 2\,y - 1) = 0[/tex]

ora, per determinare il valore del parametro [tex]\lambda[/tex],
basta imporre il passaggio dal punto [tex]O(0 \,;\, 0)[/tex]:

[tex](0 - 2)^2 + \left( 0 - \dfrac{1}{2} \right)^2 + \lambda (0 - 2\cdot 0 - 1) = 0[/tex]

[tex]\dfrac{17}{4} - \lambda = 0[/tex]

quindi [tex]\lambda = \dfrac{17}{4}[/tex]

sostituendo nell'equazione del fascio abbiamo l'equazione della circonferenza:

[tex](x - 2)^2 + \left( y - \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{17}{4} (x - 2\,y - 1) = 0[/tex]

[tex]x^2 + y^2 + \dfrac{1}{4}\,x - \dfrac{19}{2}\,y = 0[/tex]

[salfor76]

Bella risoluzione davvero! io avrei seguito la strada proposta Francesco.93, ma quella di Franced
è di certo più rapida ed elegante!

[jellybean22]

E' piaciuta molto anche a me, per essere onesti

[franced]

Sono contento che la mia soluzione vi sia piaciuta, però devo dire che la sconsiglio
a chi non è molto esperto di fasci di circonferenze.

[lordb]

Grazie a tutti!!!

@franced

Scusa mi potresti spiegare le generalità del fascio di circonferenze, perchè vedo che su wikipedia la formula è diversa, da quello che hai fatto mi sembra:

se:
$ s =$ retta tangente,
$ T $ = punto di tangenza,
$ gamma = 0

$ (x-xt)^2+(y-yt)^2+ lambda(s)

ma non sono sicuro che questa formula sia corretta perchè mi sembra abbastanza " circoscritta " al caso, infatti nell'esercizio dopo:

Scrivere l'equazione della circonferenza passante per il punto $(0;2)$ e tangente nell'origine alla retta $y+2x=0$
non mi viene nè imponendo $x=0 y=0$, nè $x=0 y=2 $ (al secondo passaggio)

Potresti dunque spiegarmi il fascio di circonferenze perchè la mezza paginetta di wikipedia mi sembra molto confusionaria

[franced]

Il fascio che ho utilizzato io è generato dalla circonferenza degenere $(x-2)^2+(y-1/2)^2=0$
e dalla retta tangente.
Tenete bene a mente quello che ho scritto io: se non siete esperti di fasci lasciate perdere questo
metodo, sbagliare è facilissimo!