Problema circonferenza!
ciao a tutti! è da un sacco di tempo che non scrivo, ma ho bisogno di una mano... sento di essere vicina al risultato ma mi manca un passaggio! allora...
una circonferenza è tangente all'asse y e il suo raggio misura 2; scrivere l'equazione della circonferenza sapendo che stacca sulla bisettrice del 1° quadrante una corda di misura 2 $root$2
correggetemi se sbaglio... dovrei fare un sistema a 3 incognite... quindi:
1) prendo la formula del raggio $root$ $xo^2 + yo^2 - c$ e la pongo uguale a 2
$(-a/2)^2 + (-b/2)^2 - c = 4$
e questa dovrebbe essere una...
2) metto a sistema (penso di non essere in grado di fare una graffa!!! )
l'equazione dell'asse y ($x=0$) con quella della circonferenza ($x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$) ricavo l'equazione risolvente ($y^2 + by + c = 0$) e pongo il delta =0 (condizione di tangenza)
$b^2 - 4c = 0$
e questa è un'altra...
3) e qui mi blocco... perchè sicuramente devo sfruttare il fatto che la corda che stacca è proprio sulla bisettrice ($y=x$) ma non capisco in che modo... ho provato usando la distanza di due punti, ponendola = 2$root$2 e poi sostituendo le x alle y ma non mi viene!!
sarà sicuramente banale...!! grazie fin da ora per l'aiuto!!
una circonferenza è tangente all'asse y e il suo raggio misura 2; scrivere l'equazione della circonferenza sapendo che stacca sulla bisettrice del 1° quadrante una corda di misura 2 $root$2
correggetemi se sbaglio... dovrei fare un sistema a 3 incognite... quindi:
1) prendo la formula del raggio $root$ $xo^2 + yo^2 - c$ e la pongo uguale a 2
$(-a/2)^2 + (-b/2)^2 - c = 4$
e questa dovrebbe essere una...
2) metto a sistema (penso di non essere in grado di fare una graffa!!! )
l'equazione dell'asse y ($x=0$) con quella della circonferenza ($x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$) ricavo l'equazione risolvente ($y^2 + by + c = 0$) e pongo il delta =0 (condizione di tangenza)$b^2 - 4c = 0$
e questa è un'altra...
3) e qui mi blocco... perchè sicuramente devo sfruttare il fatto che la corda che stacca è proprio sulla bisettrice ($y=x$) ma non capisco in che modo... ho provato usando la distanza di due punti, ponendola = 2$root$2 e poi sostituendo le x alle y ma non mi viene!!
sarà sicuramente banale...!! grazie fin da ora per l'aiuto!!
Risposte
nel punto tre metti a sistema l'equazione genrale della circonferenza con la retta y=x.
i due punti che trovi ce son in funzione di a,b,c imponi che siano distanti $sqrt2$ con la formula di distanza tra due punti almeno penso...
i due punti che trovi ce son in funzione di a,b,c imponi che siano distanti $sqrt2$ con la formula di distanza tra due punti almeno penso...
ma la formula del raggio nn è $r=1/2sqrt(a^2+b^2-4c)$?
una possibile soluzione si trova considerando che, poiche' si conosce il raggio della circo, e la corda che stacca su una retta, con semplici considerazioni (teo pitagora) ottengo la distanza del centro della circo dalla retta in questione.
alex
alex
grazie ancora! intanto, per quanto riguarda le formula del raggio, a me l'hanno spiegata così... poi non so! e per il ragionamento sopra, direi che ci sta, domattina lo provo per bene che adesso potrei scrivere di tutto...!!
e per alex... sarà l'ora, sarà che io delle circonferenze non ho capito quel grankè ma la tua soluzione (che sarà semplicissima) mi lascia un po' perplessa... dopo che ho trovato la distanza della corda?
e per alex... sarà l'ora, sarà che io delle circonferenze non ho capito quel grankè ma la tua soluzione (che sarà semplicissima) mi lascia un po' perplessa... dopo che ho trovato la distanza della corda?
"*illi*":
grazie ancora! intanto, per quanto riguarda le formula del raggio, a me l'hanno spiegata così... poi non so! e per il ragionamento sopra, direi che ci sta, domattina lo provo per bene che adesso potrei scrivere di tutto...!!
e per alex... sarà l'ora, sarà che io delle circonferenze non ho capito quel grankè ma la tua soluzione (che sarà semplicissima) mi lascia un po' perplessa... dopo che ho trovato la distanza della corda?
in effetti la soluzione di fu^2 e' quella piu' diretta e generale.
per quanto riguarda quello che ti avevo suggerito io, in effetti ci si complica un po' la vita, cmq una volta che avevi trovato la distanza centr-retta, scrivevi la condizione:
distanza(centro,retta)=distanza trovata, che e' una condizione nei soli coefficienti a, b .
c'e' da dire che nella formula della distanza punto -retta c'e' un valore asoluto che avresti dovuto togliere , e quindi era in effetti un po' macchinosa come soluzione.
...giusto! ora mi è venuto in mente che esiste anche una disanza punto-retta... me la ricordo, me la ricordo! ma meglio che stiamo sul generale (e immediato) se no mi perdo... grazie della speigazione cmq...!
me la ricordo, me la ricordo! ma meglio che stiamo sul generale (e immediato) se no mi perdo... grazie della speigazione cmq...!
Una simpatica interpretazione geometrica del problema (almeno secondo i miei gusti).
Con riferimento alla figura risulta (dopo aver unito C con T,M,N):
$CM=CN=2,MN=2sqrt2,CM^2+CN^2=MN^2$
e quindi il triangolo CMN e' rettangolo isoscele.Ne segue che :
$CMO=180°-45°=135°$,$TCM=360°-135°-45°-90°=90°$
e poiche' e' pure $MCN=90°$ ,ne risulta che i punti T,C,N sono allineati.
Pertanto $OT=TN=4$ e dunque $C(2,4)$
In conclusione l'equazione della circonferenza e':
$(x-2)^2+(y-4)^2=4$
karl
Nota didattica.
Dopo una prima e consistente fase di apprendimento della geometria analitica,
non sarebbe male che si cominciasse ad interpretare,laddove possibile,i problemi
anche dal punto di vista puramente geometrico.
Si parla tanto di abbandono della Geometria di Euclide e poi si finisce sempre
con lo sguazzare tra formule e procedimenti meccanici.
Naturalmente e' un discorso rivolto ai colleghi insegnanti:gli alunni sono
purtroppo le inconsapevoli vittime di questa esasperata algebrizzazione
della geometria.
karl
gurada karl, ti parlo da alunna che ha fatto i primi due anni di liceo scientifico con lacune assurde di geometria euclidea... a causa di un professore diciamo "non proprio preparato" e che per questo odia tutto ciò che non è riconducibile a un metodo generale fisso... passerei ore su un problema da risolvere con equazioni e disequazioni di primo, secondo, millesimo grado ma appena vedo un disegno dove bisogna COGLIERE qualcosa vado nel pallone... e credo che (almeno a esperienza personale) sia un problema comune! detto questo... la tua soluzione mi piace moltissimo, è immediata (una volta che ce l'ho scritta davanti ovviamente) chiara, precisa... ma non ci sarei arivata mai e poi mai!
e ti dirò di più... sto cercando di risolvere il problema con il metodo suggerito da fu^2 ma non ci riesco...!! dunque... l'equazione risolvente il sistema dovrebbe essere $2x^2 + (a+b)x + c =0$... ecco... da qui dovrei calcolare le due x e poi...?? scusate ma finchè non lo capisco...
ormai ne ho fatta una questione di principio! devo riuscire a risolverlo!
e ti dirò di più... sto cercando di risolvere il problema con il metodo suggerito da fu^2 ma non ci riesco...!! dunque... l'equazione risolvente il sistema dovrebbe essere $2x^2 + (a+b)x + c =0$... ecco... da qui dovrei calcolare le due x e poi...?? scusate ma finchè non lo capisco...
ormai ne ho fatta una questione di principio! devo riuscire a risolverlo!
dopo che hai trovato le espressioni delle 2 ascisse di intersezione tra circo e retta, devi trovare anche le ordinate (sapendo che i 2 punti sono sulla retta.
dopo fai distanza tra 2 punti e uguagli a quella data dal problema
dopo fai distanza tra 2 punti e uguagli a quella data dal problema
Bella la soluzione di Karl! 
Vorrei solo aggiungere che quest'esercizio sta anche sul mio libro (che potrebbe essere lo stesso di Illi: "Moduli di Lineamenti di matematica") e riporta due soluzioni; incuriosito da questo fatto mi sono accorto che le circonferenze che rispondono alle condizioni imposte sono due, l'altra è simmetrica a quella disegnata da Karl, ha il centro sull'asse delle $x$ e passa per l'origine.
Vorrei solo aggiungere che quest'esercizio sta anche sul mio libro (che potrebbe essere lo stesso di Illi: "Moduli di Lineamenti di matematica") e riporta due soluzioni; incuriosito da questo fatto mi sono accorto che le circonferenze che rispondono alle condizioni imposte sono due, l'altra è simmetrica a quella disegnata da Karl, ha il centro sull'asse delle $x$ e passa per l'origine.
Per evitare che illi si rovini questa mezza festa di oggi,le propongo di osservare
che l'ascissa del centro C della circonferenza e' uguale al raggio e dunque si puo' porre
C(2,b) con b unica incognita da determinare.
L'equazione della circonferenza sara' quindi:
$(x-2)^2+(y-b)^2=4$
Facciamo sistema con la bisettrice y=x:
${((x-2)^2+(y-b)^2=4),(y=x):}$ da cui:
$(x-2)^2+(x-b)^2=4$ e quindi l'equazione $ 2x^2-2(b+2)x+b^2=0$
Ricavo le x:
$x_(1,2)=((b+2)+-sqrt(-b^2+4b+4))/2$
Le y ,essendo y=x,sono le medesime:
$y_(1,2)=((b+2)+-sqrt(-b^2+4b+4))/2$
La distanza d tra questi punti e':
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt[2(-b^2+4b+4)]$
Eguaglio questa distanza al valore dato $2sqrt2$:
$sqrt[2(-b^2+4b+4)]=2sqrt2$
Da qui, elevando al quadrato,si ricava l'equazione:
$b^2-4b=0$ --> $b_1=0,b_2=4$
Si hanno quindi 2 soluzioni,come indicato ottimamente da Phaedrus,che sono:
$(x-2)^2+y^2=4$
$(x-2)^2+(y-4)^2=4$
karl
che l'ascissa del centro C della circonferenza e' uguale al raggio e dunque si puo' porre
C(2,b) con b unica incognita da determinare.
L'equazione della circonferenza sara' quindi:
$(x-2)^2+(y-b)^2=4$
Facciamo sistema con la bisettrice y=x:
${((x-2)^2+(y-b)^2=4),(y=x):}$ da cui:
$(x-2)^2+(x-b)^2=4$ e quindi l'equazione $ 2x^2-2(b+2)x+b^2=0$
Ricavo le x:
$x_(1,2)=((b+2)+-sqrt(-b^2+4b+4))/2$
Le y ,essendo y=x,sono le medesime:
$y_(1,2)=((b+2)+-sqrt(-b^2+4b+4))/2$
La distanza d tra questi punti e':
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt[2(-b^2+4b+4)]$
Eguaglio questa distanza al valore dato $2sqrt2$:
$sqrt[2(-b^2+4b+4)]=2sqrt2$
Da qui, elevando al quadrato,si ricava l'equazione:
$b^2-4b=0$ --> $b_1=0,b_2=4$
Si hanno quindi 2 soluzioni,come indicato ottimamente da Phaedrus,che sono:
$(x-2)^2+y^2=4$
$(x-2)^2+(y-4)^2=4$
karl
innanzitutto GRAZIE MILLE! mamma mia, come mi sento ignorante...!
beh, con il primo metodo, dopo pagine di calcoli (ovviamente mi ero dimenticata un 4 a denominatore) ci sono saltata fuori... l'ultimo suggerito da karl l'ho incredibilmente capito! ma ho un dubbio... (grazie per la pazienza!) tu dici che siccome l'ascissa del centro C della circonferenza è uguale al raggio si può porre C(2,b)... ma la y del centro non è $-b/2$? molto probabilmente mi sbaglio io... ma non mi piace restare con dei dubbi...
beh, con il primo metodo, dopo pagine di calcoli (ovviamente mi ero dimenticata un 4 a denominatore) ci sono saltata fuori... l'ultimo suggerito da karl l'ho incredibilmente capito! ma ho un dubbio... (grazie per la pazienza!) tu dici che siccome l'ascissa del centro C della circonferenza è uguale al raggio si può porre C(2,b)... ma la y del centro non è $-b/2$? molto probabilmente mi sbaglio io... ma non mi piace restare con dei dubbi...
"*illi*":
tu dici che siccome l'ascissa del centro C della circonferenza è uguale al raggio si può porre C(2,b)... ma la y del centro non è $-b/2$? molto probabilmente mi sbaglio io... ma non mi piace restare con dei dubbi...
mi pare che hai ragione tu
Quella "b" che ho messo in C(2,b) non e' la b della
equazione della circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ma un simbolo
con il quale ho indicato l'ordinata del centro.La coincidenza e' solo casuale
in quanto avrei potuto indicare tale ordinata con un qualsiasi altro simbolo.
Vai in tutta tranquillita' che e' tutto giusto:ho personalmente verificato le 2 soluzioni
e corrispondono alla traccia del problema.
karl
equazione della circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ma un simbolo
con il quale ho indicato l'ordinata del centro.La coincidenza e' solo casuale
in quanto avrei potuto indicare tale ordinata con un qualsiasi altro simbolo.
Vai in tutta tranquillita' che e' tutto giusto:ho personalmente verificato le 2 soluzioni
e corrispondono alla traccia del problema.
karl
perfetto! gentilissimo...! scusami e grazie ancora...!!! 
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