Problema capitalizzazione composta
Buonasera! Ecco il testo del problema:
"Fra 4 anni posso ritirare 2000 €. Due anni fa potevo ritirare 1370 €. Determinare il tasso annuo praticato dalla banca presso la quale è stata effettuata l’operazione. "
Allora, partendo dalla formula $M=C(1+i)^n$, ho pensato di considerare "fra 4 anni" come $n+4$ e "due anni fa" come $n-2$ impostando così il seguente sistema: $\{(2000=C(1+i)^(n+4)), (1370=C(1+i)^(n-2)):}$ che però non ho idea di come risolvere
.
Quello che non capisco è che così ho tre incognite che chiaramente non posso ricavare con due equazioni, quindi o c'è un modo per eliminarne una o il ragionamento è sbagliato... Qualche idea?
"Fra 4 anni posso ritirare 2000 €. Due anni fa potevo ritirare 1370 €. Determinare il tasso annuo praticato dalla banca presso la quale è stata effettuata l’operazione. "
Allora, partendo dalla formula $M=C(1+i)^n$, ho pensato di considerare "fra 4 anni" come $n+4$ e "due anni fa" come $n-2$ impostando così il seguente sistema: $\{(2000=C(1+i)^(n+4)), (1370=C(1+i)^(n-2)):}$ che però non ho idea di come risolvere
. Quello che non capisco è che così ho tre incognite che chiaramente non posso ricavare con due equazioni, quindi o c'è un modo per eliminarne una o il ragionamento è sbagliato... Qualche idea?
Risposte
Prova a vedere che succede,se sposti l'origine a 7 anni fà 
:
a quel punto ricorda che le equazioni d'un sistema possono pure dividersi membro a membro,se questi ultimi son certo non nulli..
Saluti dal web.
:a quel punto ricorda che le equazioni d'un sistema possono pure dividersi membro a membro,se questi ultimi son certo non nulli..
Saluti dal web.
Dividendo membro a membro in effetti viene però mi sorgono due domande: perchè dovrei spostare l'origine a 7 anni fa? (Mi è venuto anche senza farlo) e in base a quale principio le equazioni di un sistema si possono sommare, dividere e presumo quindi anche moltiplicare membro a membro?
"marcosocio":
in base a quale principio le equazioni di un sistema si possono sommare, dividere e presumo quindi anche moltiplicare membro a membro?
Te lo mostro con qualche simbolo, probabilmente si capisce meglio
Prendiamo un tipico sistema formato da due equazioni: con un'equazione stiamo dicendo che le quantità a sinistra sono uguali a quelle a destra.
Quindi ${(alpha = alpha), (beta = beta):} rArr {(alpha = alpha), (alpha + beta = alpha + beta):}$.
Allo stesso modo si può scrivere ${(alpha = alpha), (alpha * beta = alpha * beta):}$, ecc (facendo attenzione a non dividere per zero!)
Tutto chiaro?
Se indichi con $C_0$ il capitale presente 7 anni fà potrai aggiungere,alle due da te scritte(ma debitamente sistemate :wink),
l'equazione $C_0(1+i)=1370$:
e quel sistema di tre equazioni in tre incognite,trattato e risolto come ti suggerivo
(autorizzato a farlo,per inciso,
da quei principi d'equivalenza dei sistemi d'equazioni che ho appena visto esserti già stati ben mostrati..),
ti permette di "sparametrizzare" i tuoi tre parametri $C_0,i,n$!
Saluti dal web.
Edit.
Trattare come tu hai fatto è del tutto equivalente,
e d'altronde scegliendo quella via hai appunto fatto in modo d'aggiunger quella famosa terza equazione necessaria a sparametrizzare:
io ho preferito farlo dall'inizio per questioni di chiarezza espositiva
(in quanto tengo molto al principio ispiratore riassumibile con la frase "tanti parametri quante equazioni sparametrizzanti..)!
l'equazione $C_0(1+i)=1370$:
e quel sistema di tre equazioni in tre incognite,trattato e risolto come ti suggerivo
(autorizzato a farlo,per inciso,
da quei principi d'equivalenza dei sistemi d'equazioni che ho appena visto esserti già stati ben mostrati..),
ti permette di "sparametrizzare" i tuoi tre parametri $C_0,i,n$!
Saluti dal web.
Edit.
Trattare come tu hai fatto è del tutto equivalente,
e d'altronde scegliendo quella via hai appunto fatto in modo d'aggiunger quella famosa terza equazione necessaria a sparametrizzare:
io ho preferito farlo dall'inizio per questioni di chiarezza espositiva
(in quanto tengo molto al principio ispiratore riassumibile con la frase "tanti parametri quante equazioni sparametrizzanti..)!
Ok grazie a tutti! Chiarissimi come sempre! 
Me approfitto per chiedervi un consiglio anche su questo problema:
"Tizio ha depositato 14 anni fa presso una banca, che capitalizza ad interesse composto, la somma di 7500 €. La banca inizialmente ha applicato il tasso del 6% annuo, ma dopo un certo periodo di tempo ha aumentato il tasso al 7 % annuo. Oggi Tizio ritira un montante di 18280 €, Quando è avvenuto il cambiamento di tasso?"
Ho pensato di chiamare il tempo con interesse al 6% $t$ e, di conseguenza, quello con interesse al 7% $14-t$.
Quindi ho impostato l'equazione $18280=7500(1+0,06)^t+7500(1+0,06)^t(1+0,07)^(14-t)$ che però oltre a non saper risolvere di nuovo non mi convince neanche tanto che sia giusta... Mi date una mano? 
Me approfitto per chiedervi un consiglio anche su questo problema:"Tizio ha depositato 14 anni fa presso una banca, che capitalizza ad interesse composto, la somma di 7500 €. La banca inizialmente ha applicato il tasso del 6% annuo, ma dopo un certo periodo di tempo ha aumentato il tasso al 7 % annuo. Oggi Tizio ritira un montante di 18280 €, Quando è avvenuto il cambiamento di tasso?"
Ho pensato di chiamare il tempo con interesse al 6% $t$ e, di conseguenza, quello con interesse al 7% $14-t$.
Quindi ho impostato l'equazione $18280=7500(1+0,06)^t+7500(1+0,06)^t(1+0,07)^(14-t)$ che però oltre a non saper risolvere di nuovo
non mi convince neanche tanto che sia giusta... Mi date una mano?
Sbattici un pò,che sei sulla strada giusta ed hai "solo" un piccolo problema tecnico:
l'equazione per "sparametrizzare" la $t$ l'hai ben individuata,
e sopratutto con uno spirito molto opportuno..
Saluti dal web.
P.S.Quell'equazione
(ma pure il sistema di due equazioni in due incognite che individueresti approcciando il problema in maniera diversa,sebbene equivalente a quella da te scelta,
e con due parametri opportuni..)
puoi solo risolverla con buona approssimazione,mi pare..
l'equazione per "sparametrizzare" la $t$ l'hai ben individuata,
e sopratutto con uno spirito molto opportuno
..Saluti dal web.
P.S.Quell'equazione
(ma pure il sistema di due equazioni in due incognite che individueresti approcciando il problema in maniera diversa,sebbene equivalente a quella da te scelta,
e con due parametri opportuni..)
puoi solo risolverla con buona approssimazione,mi pare..
Attento: l'equazione giusta è
$18280=7500(1+0,06)^t(1+0,07)^(14-t)$
che si risolve passando ai logaritmi, così:
$log18280=log7500+tlog1,06+(14-t)log1,07->...$
La mia soluzione è $t=6$
$18280=7500(1+0,06)^t(1+0,07)^(14-t)$
che si risolve passando ai logaritmi, così:
$log18280=log7500+tlog1,06+(14-t)log1,07->...$
La mia soluzione è $t=6$
In effetti così ha più senso e la soluzione è quella giusta! Sarà stato quello il problema tecnico di cui parlava theras. Grazie di nuovo a tutti! 
Si,il tuo problema tecnico era quello della risoluzione poi ottimamente proposta da Gianmaria;
il mio che vedo male le formule dal cellulare,
e leggevo la tua equazione sparametrizzante uguale a quella con la quale t'ha corretto lui:
l'importante è che l'equivoco è risolto..
Saluti dal web.
il mio che vedo male le formule dal cellulare,
e leggevo la tua equazione sparametrizzante uguale a quella con la quale t'ha corretto lui:
l'importante è che l'equivoco è risolto..
Saluti dal web.
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