Problema calcolo volume solido di rotazione
Salve ragazzi, avrei bisogno di una mano sul seguente problema.
"Data la funzione y=log(x+1), siano A l'intersezione fra la curva e la retta y=1 e H la proiezione di A sull'asse y. Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse y del triangolo mistilineo OAH."
Allora, il risultato non lo so, sto procedendo nel seguente modo:
so che per calcolare il volume di un solido del genere devo usare la formula
$ V=2\piint_(a)^(b) xf(x) dx $
con estremi di integrazione a=-e+1, b=e-1.
Poi fare quell'integrale per parti e poi calcolare il risultato.
Questo è più o meno quello che ho pensato e fatto, ora vi chiedo se è lecito oppure ho sbagliato qualcosa?
Perché l'estremo di integrazione a è fuori dal dominio della funzione e poi, siccome la primitiva di quella funzione esce un pezzo dove c'è log(x+1), mi viene l'argomento negativo, il che è assurdo...
Qualcuno che mi illumini?
"Data la funzione y=log(x+1), siano A l'intersezione fra la curva e la retta y=1 e H la proiezione di A sull'asse y. Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse y del triangolo mistilineo OAH."
Allora, il risultato non lo so, sto procedendo nel seguente modo:
so che per calcolare il volume di un solido del genere devo usare la formula
$ V=2\piint_(a)^(b) xf(x) dx $
con estremi di integrazione a=-e+1, b=e-1.
Poi fare quell'integrale per parti e poi calcolare il risultato.
Questo è più o meno quello che ho pensato e fatto, ora vi chiedo se è lecito oppure ho sbagliato qualcosa?
Perché l'estremo di integrazione a è fuori dal dominio della funzione e poi, siccome la primitiva di quella funzione esce un pezzo dove c'è log(x+1), mi viene l'argomento negativo, il che è assurdo...
Qualcuno che mi illumini?
Risposte
"Vins_07":
Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse y
NB. E dove hai trovato la tua formula?
"ghira":
[quote="Vins_07"]Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse y
NB. E dove hai trovato la tua formula?[/quote]
Intendi la formula per calcolare il volume? Sul libro.
Controlliamo.
Se la formula fosse giusta, facendo ruotare la porzione del grafico della funzione $y=x$ compresa tra le rette di equazioni $y=0$ ed $y=1$ attorno all'asse $y$ dovresti ottenere il volume del cono circolare retto con raggio di base $r=1$ ed altezza $h=1$, cioè $V=1/3 pi$... Prova.
Inoltre, da una formula per la rotazione attorno all'asse $y$ mi aspetto che nell'integrale compaia una $y$, no?
Se la formula fosse giusta, facendo ruotare la porzione del grafico della funzione $y=x$ compresa tra le rette di equazioni $y=0$ ed $y=1$ attorno all'asse $y$ dovresti ottenere il volume del cono circolare retto con raggio di base $r=1$ ed altezza $h=1$, cioè $V=1/3 pi$... Prova.
Inoltre, da una formula per la rotazione attorno all'asse $y$ mi aspetto che nell'integrale compaia una $y$, no?
La formula ti sembra sensata?
Usala per calcolare il volume di un cilindro con raggio 1 e lunghezza $l$.
Usala per calcolare il volume di un cilindro con raggio 1 e lunghezza $l$.
In questo momento non ho la lucidità necessaria per esaminare il problema in questione, ma esistono formule per calcolare il volume di un solido di rotazione attorno all'asse y usando integrali in $dx$. Potete vedere qui: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=11&t=133891&p=856180&hilit=rotazione#p856180
"gugo82":
Controlliamo.
Se la formula fosse giusta, facendo ruotare la porzione del grafico della funzione $y=x$ compresa tra le rette di equazioni $y=0$ ed $y=1$ attorno all'asse $y$ dovresti ottenere il volume del cono circolare retto con raggio di base $r=1$ ed altezza $h=1$, cioè $V=1/3 pi$... Prova.
Inoltre, da una formula per la rotazione attorno all'asse $y$ mi aspetto che nell'integrale compaia una $y$, no?
Ho provato, non viene... allora sto usando la formula sbagliata. Quale sarebbe quella corretta?
"ghira":
La formula ti sembra sensata?
Usala per calcolare il volume di un cilindro con raggio 1 e lunghezza $l$.
Eh non lo so appunto, per questo chiedevo cosa stessi sbagliando, se la formula applicata, gli estremi di integrazione o altro. Sono in un vicolo cieco e non so che fare.
"Vins_07":
[quote="ghira"]La formula ti sembra sensata?
Usala per calcolare il volume di un cilindro con raggio 1 e lunghezza $l$.
Eh non lo so appunto, per questo chiedevo cosa stessi sbagliando, se la formula applicata, gli estremi di integrazione o altro. Sono in un vicolo cieco e non so che fare.[/quote]
Perché non lo sai?
(i) Usa la tua formula per calcolare il volume del cilindro.
(ii) Calcola il volume del cilindro come una persona normale.
(iii) Nota che le riposte sono diverse.
(iv) Di' "Ma però!".
(v) Renditi conto che la formula che stai usando sembra più la formula per la media di una distribuzione di probabilità che quella per il volume di un solido di rivoluzione.
(vi) Cerca la formula vera sul libro, magari.
A parte questo a prima vista stai sbagliando anche altre cose. Ma vedi le altre risposte.
Forse la formula corretta è:
$ V=\piint_(a)^(b) (f(y))^2 dy $
dove
$ f(y)=e^y -1 $
$ a=0 $
$ b=1 $
Potrebbe essere così?
$ V=\piint_(a)^(b) (f(y))^2 dy $
dove
$ f(y)=e^y -1 $
$ a=0 $
$ b=1 $
Potrebbe essere così?
"gugo82":
Se la formula fosse giusta, facendo ruotare la porzione del grafico della funzione $y=x$ compresa tra le rette di equazioni $y=0$ ed $y=1$ attorno all'asse $y$ dovresti ottenere il volume del cono circolare retto con raggio di base $r=1$ ed altezza $h=1$, cioè $V=1/3 pi$... Prova.
No. Come scritto nel post a cui ho rimandato, quella formula dà il volume del solido generato dalla rotazione dell'area sottostante alla curva, cioè il volume della scodella. Per avere il volume del cono, il calcolo è
V(cono)=V(cilindro circoscritto)-V(scodella)= $pi-2/3 pi=1/3 pi$
Oppure si può usare l'altra formula indicata in quel post; si ottiene direttamente il volume del cono.
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