Problema asintoti obliqui
Ciao a tutti, ho un problema con un problema 
Allora: date le funzioni $y=(2x^2-1)/(x-4)$ e $y=(ax^3+bx^2+x)/(x^2+1)$, trova i loro grafici in modo che le funzioni abbiano un asintoto in comune.
Ho pensato di procedere trovando l'asintoto obliquo nella prima funzione, che a conti fatti dovrebbe essere $y=2x+8$.
Ora però sono in difficoltà... Intuitivamente dovrei imporre questo come asintoto anche nella seconda funzione e con un sistema trovare $a$ e $b$, ma come imposto il sistema?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
PS: non so se è questa la sezione giusta, forse andava in analisi... Nel caso spostatelo pure!
Allora: date le funzioni $y=(2x^2-1)/(x-4)$ e $y=(ax^3+bx^2+x)/(x^2+1)$, trova i loro grafici in modo che le funzioni abbiano un asintoto in comune.
Ho pensato di procedere trovando l'asintoto obliquo nella prima funzione, che a conti fatti dovrebbe essere $y=2x+8$.
Ora però sono in difficoltà... Intuitivamente dovrei imporre questo come asintoto anche nella seconda funzione e con un sistema trovare $a$ e $b$, ma come imposto il sistema?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
PS: non so se è questa la sezione giusta, forse andava in analisi... Nel caso spostatelo pure!
Risposte
Semplicemente imponi che $m$ nel limite della seconza funzione sia uguale a $2$ e il termine noto ovvero $q$ sia uguale a $8$. Sarà un sistema a due equazioni e due incognite $a$ e $b$
Ok, ma non è un sistema a 2 incognite... ho $x$ di mezzo!
"Titania":
Ok, ma non è un sistema a 2 incognite... ho $x$ di mezzo!
Cosa centra la x?
Niente, domanda stupida: bastava raccoglierla e farla sparire! 
Ciao e grazie!
Ciao e grazie!
L'esercizio può essere risolto senza calcolare i limiti, basta la divisione polinomiale.
Per quanto riguarda la prima funzione [tex]y = \dfrac{2\,x^2 - 1}{x - 4}[/tex]
se dividi [tex]2x^2-1[/tex] per [tex]x-4[/tex] ottieni
[tex]\dfrac{2\,x^2 - 1}{x - 4} = 2\,x + 8 + \dfrac{31}{x - 4}[/tex]
quindi l'asintoto ha equazione [tex]y = 2x+8[/tex].
Per quanto riguarda l'altra funzione [tex]y = \dfrac{a\,x^3 + b\,x^2 + x}{x^2 + 1}[/tex],
sempre con la divisione polinomiale ottieni
[tex]y = a\,x + b + \dfrac{(1 - a)\,x - b}{x^2 + 1}[/tex]
quindi l'asintoto della funzione [tex]y = \dfrac{a\,x^3 + b\,x^2 + x}{x^2 + 1}[/tex]
è [tex]y = a\,x + b[/tex]
A questo punto basta uguagliare i due asintoti:
[tex]2\,x + 8 = a\,x + b[/tex]
da cui ricaviamo
[tex]\left\{ \begin{array}{l}
a = 2 \\
b = 8
\end{array} \right.[/tex]
Per quanto riguarda la prima funzione [tex]y = \dfrac{2\,x^2 - 1}{x - 4}[/tex]
se dividi [tex]2x^2-1[/tex] per [tex]x-4[/tex] ottieni
[tex]\dfrac{2\,x^2 - 1}{x - 4} = 2\,x + 8 + \dfrac{31}{x - 4}[/tex]
quindi l'asintoto ha equazione [tex]y = 2x+8[/tex].
Per quanto riguarda l'altra funzione [tex]y = \dfrac{a\,x^3 + b\,x^2 + x}{x^2 + 1}[/tex],
sempre con la divisione polinomiale ottieni
[tex]y = a\,x + b + \dfrac{(1 - a)\,x - b}{x^2 + 1}[/tex]
quindi l'asintoto della funzione [tex]y = \dfrac{a\,x^3 + b\,x^2 + x}{x^2 + 1}[/tex]
è [tex]y = a\,x + b[/tex]
A questo punto basta uguagliare i due asintoti:
[tex]2\,x + 8 = a\,x + b[/tex]
da cui ricaviamo
[tex]\left\{ \begin{array}{l}
a = 2 \\
b = 8
\end{array} \right.[/tex]
"franced":
L'esercizio può essere risolto senza calcolare i limiti, basta la divisione polinomiale.
Si lo sapevo, ma non mi ricordavo come fare la divisione (ieri ero un po' di fretta)
Comunque grazie!
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