Problema analitica con massimi

[shintek201]

Data la circonferenza: $x^2+y^2-2x-2y=0$,considerare la semicirconferenza $C_1$ posta nel semipiano $x<=y$
Determinare l'equazione della retta r passante per O che incontri $C_1$ in P in modo che,detta H la proiezione di P sul diametro di $C_1$,risulti massima la somma:
$S=OH+PH$

Per favore,potreste dirmi innanzitutto cosa vuol dire,sia graficamente,sia matematicamente:
considerare la semicirconferenza $C_1$ posta nel semipiano $x<=y$?
Come faccio?
Grazie...

[gio73]

"shintek20":
Per favore,potreste dirmi innanzitutto cosa vuol dire,sia graficamente,sia matematicamente:
considerare la semicirconferenza $C_1$ posta nel semipiano $x<=y$?
Come faccio?
Grazie...

Da come la capisco io il semipiano che cerchi è quello in cui i punti hanno ascissa minore o uguale all'ordinata, dovendolo disegnare farei il piano cartesiano e traccerei la bisettrice di I e III quadrante (la sua equazione non è y=x?), i punti che si trovano "sotto", soddisfano la condizione assegnata? allora quello è il semipiano che cerchi!
Poi disegnerei la circonferenza... una parte si trova nel semipiano considerato e una parte no?

[shintek201]

Sotto o sopra la bisettrice?Dal disegno ho visto che dovrebbe essere sopra,ma tu mi dici sotto...
Cioè la semicirconferenza che sta tra il 1 e il 2 quadrante e che ha il diametro che è la bisettrice stessa?

[gio73]

il disegno non l'ho fatto, ma tu si, la circonferenza passa per l'origine e ha il centro nel punto (1,1)?
Ora la bisettrice del I quadrante divide la circonferenza in due parti, quale di queste ha $x<=y$?

[shintek201]

Si,passa per l'origine è il centro è quello.
Io direi quella che va dal primo al secondo quadrante...

[gio73]

Concordo, ho fatto il disegno e mi sono accorta di essere stata affrettata nella prima risposta a dire "sotto", scusami!

[shintek201]

Tranquilla! ....invece come potrei continuare col passaggio successivo?

[chiaraotta1]

"shintek20":Data la circonferenza: $x^2+y^2-2x-2y=0$,considerare la semicirconferenza $C_1$ posta nel semipiano $x<=y$
Determinare l'equazione della retta r passante per O che incontri $C_1$ in P in modo che,detta H la proiezione di P sul diametro di $C_1$,risulti massima la somma:
$S=OH+PH$

Per favore,potreste dirmi innanzitutto cosa vuol dire,sia graficamente,sia matematicamente:
considerare la semicirconferenza $C_1$ posta nel semipiano $x<=y$?
Come faccio?
Grazie...

Se indichi con $theta$ l'angolo $HhatOP$, allora
$OP=2rcos(theta)$,
per cui
$OH=OPcos(theta)=2rcos^2(theta)=r[cos(2theta)+1]$
e
$PH=OPsen(theta)=2rsen(theta)cos(theta)=rsen(2theta)$,
con $0<=theta<=pi/2$ e $r=sqrt(2)$.
Allora la funzione è
$S(x)= OH + PH = r[cos(2theta)+1+sen(2theta)]=r[sqrt(2)sen(2theta+pi/4)+1]$,
che ha un massimo per
$2theta+pi/4=pi/2->theta=pi/8$.

La retta $OP$ è del tipo $y=mx$, dove $m=tan(pi/4+pi/8)=tan((3pi)/8)= sqrt(2)+1$.

[shintek201]

Se indichi con $theta$ l'angolo $HhatOP$, allora
$OP=2rcos(theta)$,
per cui
$OH=OPcos(theta)=2rcos^2(theta)=r[cos(2theta)+1]$

Scusa,Non ho capito cosa hai fatto in quest'ultimo passaggio per $OH$

[chiaraotta1]

Formule di duplicazione del coseno:
$cos(2theta)=cos^2(theta)-sen^2(theta)=2cos^2(theta)-1->2cos^2(theta)=cos(2theta)+1$

[shintek201]

"chiaraotta":Formule di duplicazione del coseno:
$cos(2theta)=cos^2(theta)-sen^2(theta)=2cos^2(theta)-1->2cos^2(theta)=cos(2theta)+1$

Mi dispiace,ma non riesco a capire 2 cose:

il triangolo $OHP$ è rettangolo in $H$? perché?
E poi non capisco come da:$2cos^2(theta)$ arrivi a $cos(2theta)+1$.Sei partita dalla formula di duplicazione,ma io non vedo angoli doppi,potresti partire da qui:$2cos^2(theta)$?

[chiaraotta1]

"shintek20":
.....
Mi dispiace,ma non riesco a capire 2 cose:
il triangolo $AHP$ è rettangolo in $H$? perché?
....

Non capisco io: qual è il triangolo $AHP$? Cosa indichi con $A$?

"shintek20":
E poi non capisco come da:$2cos^2(theta)$ arrivi a $cos(2theta)+1$

Ho cercato di spiegarlo:
se (formule di duplicazione del coseno)
$cos(2theta)=2cos^2(theta)-1$,
allora, se sposto $-1$ a primo membro e leggo da destra a sinistra, ottengo
$2cos^2(theta)=cos(2theta)+1$.

[shintek201]

Ah,mmmh...forse ho capito...
Comunque,scusa!Ho sbagliato,volevo dire $OHP$ è rettangolo in $H$?E perché?

[shintek201]

Allora la funzione è
$S(x)= OH + PH = r[cos(2theta)+1+sen(2theta)]=r[sqrt(2)sen(2theta+pi/4)+1]$,
che ha un massimo per
$2theta+pi/4=pi/2->theta=pi/8$.

Come fai a passare da:$r[cos(2theta)+1+sen(2theta)]=r[sqrt(2)sen(2theta+pi/4)+1]$?e per il massimo devo fare la derivata di questo è metterla $>=0$?

[chiaraotta1]

"shintek20":....
volevo dire $OHP$ è rettangolo in $H$?E perché?...

Nel testo "detta H la proiezione di P sul diametro"

"shintek20":....
Come fai a passare da:$r[cos(2theta)+1+sen(2theta)]=r[sqrt(2)sen(2theta+pi/4)+1]$...

Con le formule di addizione del seno:
$sqrt(2)sen(2theta+pi/4)=sqrt(2)[sen(2theta)cos(pi/4)+cos(2theta)sen(pi/4)]=$
$sqrt(2)[sen(2theta)sqrt(2)/2+cos(2theta)sqrt(2)/2]=sqrt(2)*sqrt(2)/2*[sen(2theta)+cos(2theta)]=$
$sen(2theta)+cos(2theta)$.

"shintek20":....
e per il massimo devo fare la derivata di questo è metterla $>=0$?...

Il massimo di $sen(alpha)$ si ha quando $alpha=pi/2$.

[shintek201]

Con le formule di addizione del seno:
$sqrt(2)sen(2theta+pi/4)=sqrt(2)[sen(2theta)cos(pi/4)+cos(2theta)sen(pi/4)]=$
$sqrt(2)[sen(2theta)sqrt(2)/2+cos(2theta)sqrt(2)/2]=sqrt(2)*sqrt(2)/2*[sen(2theta)+cos(2theta)]=$
$sen(2theta)+cos(2theta)$.

Mi dispiace,ma non riesco a capirti:
Non c'è un altro modo per farlo?Da dove te lo esci:$sqrt(2)sen(2theta+pi/4)$?Perché parti ''all'incontrario''?
Se mi potessi suggerire un altro metodo,mi faresti un grande favore...questo non arrivo a capirlo...