Problema algebrico

[Ocinaslup]

Trovare due numeri interi sapendo che il prodotto del primo aumentato del doppio del secondo per il doppio del primo diminuito del secondo è uguale al quadrato del primo diminuito di 52 e sapendo inoltre che il doppio del quadrato della somma dei due numeri diminuito del triplo del quadrato della loro differenza è -100.

Soluzione proposta
Io ho impostato questo sistema, ma nel risolverlo vi sono termini misti (xy) che creano problemi nei calcoli. C'è un metodo veloce per evitare calcoli spaventosi?
Vi scrivo il sistema che ho risolto:
Prima equazione: $(x+2y)*(2x-y) = x^2-52$
Seconda equazione: $2(x+y)^2 - 3(x-y)^2 = -100$

Ringrazio quanti vorranno aiutarmi.

[burm87]

L'impostazione mi pare corretta e non credo ci sia via di scampo al dover risolvere il sistema.

[Ocinaslup]

si, ma con i termini misti xy i calcoli diventano proibitivi o sbaglio?

[minomic]

Ciao, in realtà i calcoli non sono impossibili. \[\begin{cases}x^2 + 3xy - 2y^2+52=0 \\ -x^2 - y^2 + 10xy + 100 = 0\end{cases}\] Somma membro a membro: \[3y^2-13xy-152=0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3y^2-152}{13y}\] e poi si sostituisce ad esempio nella prima: \[\frac{9y^4+152^2-912y^2}{169y^2} + \frac{9y^2-456}{13}-2y^2+52=0\] che è bi-quadratica. Ammette quattro soluzioni: due sono complesse e le altre due sono \[y = \pm 4\] Poi si ricava la $x$.

[burm87]

"Ocinaslup":
${((x+2y)*(2x-y) = x^2-52),(2(x+y)^2 - 3(x-y)^2 = -100):}$

${(2x^2-xy+4xy-2y^2-x^2+52=0),(2x^2+2y^2+4xy-3x^2-3y^2+6xy+100=0):}$
${(x^2+3xy-2y^2+52=0),(-x^2-y^2+10xy+100=0):}$
${(x^2+3xy-2y^2+52=0),(-x^2-y^2+10xy+100=0):}$

Applico il metodo di riduzione sommando le due equazioni:
$-3y^2+13xy+152=0$
$13xy=3y^2-152$
$x=(3y^2-152)/(13y)$

I calcoli non sono il massimo, ma si fa. Non ho intenzione di andare oltre

[giammaria2]

Un altro metodo per risolvere il sistema è fare una combinazione lineare che mandi via i termini noti. Poiché $52=4*13$ e $100=4*25$, moltiplico la prima per $-25$ e la seconda per $13$ e sommo membro a membro. Ottengo
$37y^2+55xy-38x^2=0$
che ha come soluzioni $y_1=-2x; y_2=19/37x$.
Non è ora difficile concludere.