Problema aera massima di un triangolo

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Detto P un punto della semicirconferenza di centro O e diametro AB = 2r, condurre la bisettrice t dell'angolo PAB e indicare con C il punto di incontro di t con la parallela ad AP per B. Posto 2x = angolo PAB, determinare il valore di x tale che

a) l'area del triangolo APC sia maggiore di r^2 / 2 (raggio al quadrato : 2)
b) l'area del triangolo APC sia massima

risposta:
a) Pi/24 < x < 5Pi/24
b) x=Pi/8

[anna.supermath]

Ciao
Ti scrivo la soluzione
Premetto che è un pochino complicato, usa l’allegato per seguire meglio i calcoli.
L’area del triangolo APC la calcoli come
Aapc = (1/2)(AP)(AC)(senx)
AP = 2r(cos2x)
PB = 2r(sen2x)
AC = AD + DC
D è il punto di intersezione fra la retta t ed il cateto PD
AD lo trovo applicando il Teorema dei seni al triangolo ADB
AD/(sen(Pi/2 - 2x)) = AB/(sen(Pi/2 + x))
Da cui
AD = (2r)(cos2x)/(cosx)
Per trovare DC applico il Teorema dei seni al triangolo BDC, ma prima devo trovare PD perché mi serve DB
DC/(senPi/2) = DB/(senx)

DC = DB/(senx)
Per calcolare PD uso il Teorema dei seni sul triangolo APD
PD/(senx) = AP/(sen(Pi/2 - x))
PD = (2r cos2x)(senx)/(cosx)
DB = PB - PD
DB = 2r(sen2x) - (2r cos2x)(senx)/(cosx)
Posso trovare DC applicando il Teorema dei seni al triangolo DBC
DB/(senx) = DC/(senPi/2)

DB/(senx) = DC
Quindi
DC = 2r(sen2x)/(senx)- (2r cos2x)/(cosx)
Da cui

AC = AD + DC
AC = (2r)(cos2x)/(cosx) + 2r(sen2x)/(senx)- (2r cos2x)/(cosx)
AC = 4r(cosx) NB senx diverso da zero
Da cui
Aapc =(2r^2)(cos2x)(sen2x)
Aapc = r^2 (sen4x)

a)
Aapc = (r^2)(sen4x)> (r^2)/2
Se 4x è compreso fra Pi/6 e (5/6)Pi
Ossia
x compreso fra Pi/24 e (5/24)Pi

b)
L’area è massima se sen4x = 1
Ossia 4x = Pi/2
Ossia x = Pi/8

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Le tue risoluzione sono sempre molto chiare. Complimenti e grazie