Problema a capire la teoria dei limiti
Sto studiando le definizioni dei limiti e più leggo e più non ci capisco..sono tutte contorte.
Ho capito che ci sono 4 tipi generali di limiti:
- limite finito per x che tende ad un valore finito;
- limite infinito per x che tende ad un valore finito;
- limite finito per x che tende ad un valore infinito;
- limite infinito per x che tende all'infinito.
il problema è che non capisco nemmeno perché nelle definizioni a volte mettano epsilon, a volte N e a volte M..
ho capito che il limite serve per capire come si comporta la funzione all'approssimarsi di esso, ma poi non so cosa devo fare..
comunque se imparo a memoria la formula (es. per ogni epsilon maggiore di zero esiste delta maggiore di zero tale che |funzione - limite| sia minore di epsilon per |x - c| minore di delta) posso risolvere qualsiasi limite?
Ho capito che ci sono 4 tipi generali di limiti:
- limite finito per x che tende ad un valore finito;
- limite infinito per x che tende ad un valore finito;
- limite finito per x che tende ad un valore infinito;
- limite infinito per x che tende all'infinito.
il problema è che non capisco nemmeno perché nelle definizioni a volte mettano epsilon, a volte N e a volte M..
ho capito che il limite serve per capire come si comporta la funzione all'approssimarsi di esso, ma poi non so cosa devo fare..
comunque se imparo a memoria la formula (es. per ogni epsilon maggiore di zero esiste delta maggiore di zero tale che |funzione - limite| sia minore di epsilon per |x - c| minore di delta) posso risolvere qualsiasi limite?
Risposte
Ciao esmeralda881!
A mio parere impararla a memoria serve a poco, anche perché tra poco vedrai che ci sono altre tecniche per calcolare i limiti, tecniche più immediate dell'utilizzo diretto della definizione.
Per iniziare a capirne il senso, prova a rispondere alla domanda: cosa indica il valore "|funzione - limite|" e, analogamente "|x-c|"?
Buono studio!
Bea
A mio parere impararla a memoria serve a poco, anche perché tra poco vedrai che ci sono altre tecniche per calcolare i limiti, tecniche più immediate dell'utilizzo diretto della definizione.
Per iniziare a capirne il senso, prova a rispondere alla domanda: cosa indica il valore "|funzione - limite|" e, analogamente "|x-c|"?
Buono studio!
Bea
Fai i disegni per i vari casi, questo aiuta!
E poi ricorda che le lettere sono solo convenzioni
E poi ricorda che le lettere sono solo convenzioni
Il problema è riuscire a capire il perché faccio quei grafici 
"Beatrice123":
Ciao esmeralda881!
A mio parere impararla a memoria serve a poco, anche perché tra poco vedrai che ci sono altre tecniche per calcolare i limiti, tecniche più immediate dell'utilizzo diretto della definizione.
Per iniziare a capirne il senso, prova a rispondere alla domanda: cosa indica il valore "|funzione - limite|" e, analogamente "|x-c|"?
Buono studio!
Bea
|funzione - limite| è la distanza espressa con il valore assoluto tra funzione e il limite...perché, se ho capito bene, la funzione si avvicinerà sempre più al limite ma non lo raggiungerà mai e questa differenza sarebbe epsilon, giusto? (o forse ho detto una cavolata)
|x-c| sarebbe invece la distanza, sempre espressa in valroe assoluto (quindi la differenza deve essere sempre positiva) tra il punto x e il punto x0 (cioè c che è il punto a cui tende la funzione).
Ma il delta, in questo caso, cosa c'entra? cioè vedendo i grafici, il limite sta sulla y e il punto c (punto finito a cui tende la funzione) sull'asse delle x; il punto c sull'asse delle x e il limite sull'asse delle y sono compresi in un intorno..questo intorno io lo posso stringere/allungare come voglio, a piacere..e quindi se io accorcio l'intorno del limite anche il suo corrispettivo punto c sulle x si accorcerà.
Il delta è la differenza tra gli estremi dell'intorno e il punto l oppure c giusto?
non riesco a spiegarmi e avrò fatto confusione
Non hai fatto troppa confusione...
Ci siamo quasi...
Attenzione a considerare l'intorno giusto... Epsilon determina un intorno di l sull'asse y (si parla di intorno unidimensionale, sulla retta) e Delta indica un intorno di c sull'asse x.
Il fatto che esiste il limite l, per la funzione f per x che tende a c, ti dice che, se decidi che la differenza tra la funzione e il limite deve essere al massimo epsilon, riesci a trovare una $x_0$ che soddisfa $|f(x_0)-l|<\epsilon$, ma non una $x_0$ chissà dove: quella $x_0$ è distante da c meno di delta, ossia abbastanza vicina a c.
Si capisce? o mi sono incasinata?!
|funzione - limite| è la distanza espressa con il valore assoluto tra funzione e il limite... perché, se ho capito bene, la funzione si avvicinerà sempre più al limite ma non lo raggiungerà mai e questa differenza sarebbe epsilon, giusto? (o forse ho detto una cavolata)
|x-c| sarebbe invece la distanza, sempre espressa in valroe assoluto (quindi la differenza deve essere sempre positiva) tra il punto x e il punto x0 (cioè c che è il punto a cui tende la funzione).
Ci siamo quasi...
Ma il delta, in questo caso, cosa c'entra? cioè vedendo i grafici, il limite sta sulla y e il punto c (punto finito a cui tende la funzione) sull'asse delle x; il punto c sull'asse delle x e il limite sull'asse delle y sono compresi in un intorno..questo intorno io lo posso stringere/allungare come voglio, a piacere..e quindi se io accorcio l'intorno del limite anche il suo corrispettivo punto c sulle x si accorcerà.
Il delta è la differenza tra gli estremi dell'intorno e il punto l oppure c giusto?
Attenzione a considerare l'intorno giusto... Epsilon determina un intorno di l sull'asse y (si parla di intorno unidimensionale, sulla retta) e Delta indica un intorno di c sull'asse x.
Il fatto che esiste il limite l, per la funzione f per x che tende a c, ti dice che, se decidi che la differenza tra la funzione e il limite deve essere al massimo epsilon, riesci a trovare una $x_0$ che soddisfa $|f(x_0)-l|<\epsilon$, ma non una $x_0$ chissà dove: quella $x_0$ è distante da c meno di delta, ossia abbastanza vicina a c.
Si capisce? o mi sono incasinata?!
"Beatrice123":
Ma il delta, in questo caso, cosa c'entra? cioè vedendo i grafici, il limite sta sulla y e il punto c (punto finito a cui tende la funzione) sull'asse delle x; il punto c sull'asse delle x e il limite sull'asse delle y sono compresi in un intorno..questo intorno io lo posso stringere/allungare come voglio, a piacere..e quindi se io accorcio l'intorno del limite anche il suo corrispettivo punto c sulle x si accorcerà.
Il delta è la differenza tra gli estremi dell'intorno e il punto l oppure c giusto?
Attenzione a considerare l'intorno giusto... Epsilon determina un intorno di l sull'asse y (si parla di intorno unidimensionale, sulla retta) e Delta indica un intorno di c sull'asse x.
Il fatto che esiste il limite l, per la funzione f per x che tende a c, ti dice che, se decidi che la differenza tra la funzione e il limite deve essere al massimo epsilon, riesci a trovare una $x_0$ che soddisfa $|f(x_0)-l|<\epsilon$, ma non una $x_0$ chissà dove: quella $x_0$ è distante da c meno di delta, ossia abbastanza vicina a c.
Si capisce? o mi sono incasinata?!
Grazie mille della risposta.
Quindi sull'asse delle y c'è l'intorno della epsilon (e al suo interno c'è il limite l?); sull'asse delle x c'è l'intorno delta (con all'interno x0).
Però non riesco ancora a capire |x - x0| < delta .. cioè x - x0 è la differenza (arbitraria con l'asse delle y) quando la x (cioè il punto che va a congiungersi con la funzione, intendo sul grafico) si avvicina sempre più al punto x0..il problema è che in pratica non so a cosa mi serva sapere questo.
Vedendo dei video, la linea da f(x) a x la si può spostare dove si vuole ma deve essere sempre all'interno dei due rispettivi intorni (di epsilon sulle y e delta sulle x); io devo calcolare la differenza che passa tra L e L+epsilon; L e L-epsilon? e rispettivamente anche tra x0 e x0-delta; x0 e x0+delta?
:S che casino questi limiti..
Tu fissi due punti, $l$ sull'asse delle ordinate e $c$ sull'asse delle ascisse.
Riprendiamo la definizione:
Il limite per $x$ che tende a $c$ della funzione $f(x)$ è $l$ se, e solo se:
per un qualsiasi $\epsilon>0$ fissato, esiste un $\delta>0$ (che dipende da $\epsilon$), per cui, per ogni $x$ nell'intervallo $(c-\delta;c+\delta)$, vale la relazione $f(x) \in (l-\epsilon;l+\epsilon)$.
NB. L'intervallo $(c-\delta;c+\delta)$ è l'intorno di c e l'intervallo $(l-\epsilon;l+\epsilon)$ è l'intorno di l.
Non confondere l'ampiezza dell'intervallo ($\delta$ ed $\epsilon$) con l'intorno stesso.
Prova a ripartire da qui e indicare i punti più oscuri...
Riprendiamo la definizione:
Il limite per $x$ che tende a $c$ della funzione $f(x)$ è $l$ se, e solo se:
per un qualsiasi $\epsilon>0$ fissato, esiste un $\delta>0$ (che dipende da $\epsilon$), per cui, per ogni $x$ nell'intervallo $(c-\delta;c+\delta)$, vale la relazione $f(x) \in (l-\epsilon;l+\epsilon)$.
NB. L'intervallo $(c-\delta;c+\delta)$ è l'intorno di c e l'intervallo $(l-\epsilon;l+\epsilon)$ è l'intorno di l.
Non confondere l'ampiezza dell'intervallo ($\delta$ ed $\epsilon$) con l'intorno stesso.
Prova a ripartire da qui e indicare i punti più oscuri...
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