PROBLEMA (66867)

[piccola stella*]

allora..devo risolvere questo problema di algebra..intrinsecata a a geometria..ma non riesco_:
in un rettangolo ABCD, il lato AB misura a e il lato BC misura b . siano P e Q due punti, appartenenti ad AB e CD, tali che AP= x e QC=2x .determina x in modo che l'area del trapezio PBCQ sia :
- il doppio dell'area del triangolo APD.
- il quadruplo dell'area di APD
(problema risolvibile con l'incognita x) ---> risultati : impossibile alla prima questione e x=a/3 seconda questione.
vi ringrazio in anticipo !! ^^

[BIT5]

Intanto valutiamo le limitazioni imposte dal problema.

AP=x e dovra' essere necessariamente

[math] 0 \le x \le a [/math]

in quanto P sta sulla base AB e se AP>a il punto P sta fuori dalla base

Analogamente pero' sappiamo che il punto Q dista 2x da C. Ma la distanza di Q da C potra' essere al massimo a.

Pertanto

[math] 0 \le 2x \le a \to 0 \le x \le \frac{a}{2} [/math]

che a sistema con la prima limitazione trovata sara' la limitazione totale dell'esercizio

Intanto sai che per calcolare l'area di PBCQ ti occorrono:

base maggiore (che sara' a-x)
base minore (2x)
altezza (b)

L'area del trapezio sara'

[math] A_T= \frac{(B+b) \cdot h}{2}= \frac{(a-x+2x) \cdot b}{2} = \frac{b(a+x)}{2} [/math]

Primo quesito:

Ci occorre l'area del triangolo APD (che sara'

[math] \frac{xb}{2} [/math]

Il doppio dell'area del triangolo (quindi bx) dovra' essere uguale all'area del trapezio, quindi

[math] bx= \frac{ab+bx}{2} \to 2bx=ab+bx \to bx=ab \to x=a [/math]

Che non e' ammessa dalle limitazioni iniziali del problema, e pertanto il primo punto non ha soluzioni

b) e' analogo al precedente

[math] 4 \frac{bx}{2}= \frac{ab+bx}{2} \to 4bx=ab+bx \to 3bx=ab \to x= \frac{a}{3} [/math]

Questa soluzione invece e' accettabile

Aggiunto 56 secondi più tardi:

Intanto valutiamo le limitazioni imposte dal problema.

AP=x e dovra' essere necessariamente

[math] 0 \le x \le a [/math]

in quanto P sta sulla base AB e se AP>a il punto P sta fuori dalla base

Analogamente pero' sappiamo che il punto Q dista 2x da C. Ma la distanza di Q da C potra' essere al massimo a.

Pertanto

[math] 0 \le 2x \le a \to 0 \le x \le \frac{a}{2} [/math]

che a sistema con la prima limitazione trovata sara' la limitazione totale dell'esercizio

Intanto sai che per calcolare l'area di PBCQ ti occorrono:

base maggiore (che sara' a-x)
base minore (2x)
altezza (b)

L'area del trapezio sara'

[math] A_T= \frac{(B+b) \cdot h}{2}= \frac{(a-x+2x) \cdot b}{2} = \frac{b(a+x)}{2} [/math]

Primo quesito:

Ci occorre l'area del triangolo APD (che sara'

[math] \frac{xb}{2} [/math]

Il doppio dell'area del triangolo (quindi bx) dovra' essere uguale all'area del trapezio, quindi

[math] bx= \frac{ab+bx}{2} \to 2bx=ab+bx \to bx=ab \to x=a [/math]

Che non e' ammessa dalle limitazioni iniziali del problema, e pertanto il primo punto non ha soluzioni

b) e' analogo al precedente

[math] 4 \frac{bx}{2}= \frac{ab+bx}{2} \to 4bx=ab+bx \to 3bx=ab \to x= \frac{a}{3} [/math]

Questa soluzione invece e' accettabile