Problema (41948)

[Stefystef]

Sono dati un emisfero ed un cilindro con le basi appoggiate sul medesimo piano. Si conduca un piano parallelo al piano di base e alla distanza x da esso in modo che sia K il rapporto tra il volume del cono,avente per base il cerchio sezione determinato sul cilindro e vertice nel centro del cerchio base del cilindro stesso, e il volume del cono inscritto nel segmento sferico ad una base determinato dal piano sezione sull'emisfero.
[ risultato y= r^2 x / (r^2 - x^2)(r-x) che studierò io]


Grazie =)

Aggiunto 18 ore 23 minuti più tardi:

Grazie ;)

[BIT5]

Esegui lo studio della figura, su un rettangolo e una semicirconferenza, sezioni rispettivamente del cilindro e della sfera, ottenute da un piano perpendicolare e passante per il diametro.

Considera il rettangolo - sezione del cilindro.
(immagino che il cilindro e la sfera abbiano medesimo raggio, vista la relazione del risultato, anche se il problema non lo dice..)

Il volume del cono sara' dato dunque da

[math] V = \frac13 \pi r^2 h [/math]

Dove h e' l'altezza del cilindro (ovvero x)

Lo stesso piano interseca la semicirconferenza,e il cono inscritto in essa (che risulta, dal disegno, rivolto con vertice verso l'alto a differenza dell'altro che ha il vertice verso il basso, e in sezione un triangolo isoscele) e di cui conosciamo il lato (che e' il raggio della semicirconferenza ovvero della sfera).

Inoltre detto r il raggio della semicirconferenza, conosciamo anche l'altezza del triangolo isoscele (r-x) e pertanto, per Pitagora, possiamo ricavare meta' della base del triangolo isoscele, nonche' raggio della circonferenza che costituisce la base del cono.

Dal momento che il volume di questo cono sara'

[math] \frac13 \pi r^2 [/math]

calcoliamone dunque il quadrato.

[math] r_{(CONO)}^2=r^2-x^2 [/math]

Pertanto il volume del secondo cono sara'

[math] V_2= \frac13 \pi (r^2-x^2)(r-x) [/math]

E dunque il rapporto

[math] \frac{V_1}{V_2}= \frac{ \frac13 \pi r^2x}{ \frac13 \pi (r^2-x^2)(r-x)}= \frac{r^2x}{(r^2-x^2)(r-x) [/math]

Che studierai tu :D:D:D

(ricordati le limitazioni di x, che non potra' mai essere > r, altrimenti il cono nell'emisfero non esiste...)