Problema 3° anno scientifico: Geometria analitica
Buongiorno a tutti amici, tra due giorni dovrei fare un compito di matematica,però mentre mi esercitavo ho visto questo problema, e non riesco a trovare il giusto procedimento, ve lo scrivo così se qualcuno di buona volontà voglia aiutarmi ne sarò lieto:
In un triangolo di vertici A(0;5), B(3;-1) e C(6;3) conduci da un punto P del lato AB la retta parallela al lato BC fino a incontrare il lato AC nel punto Q. Quali coordinate deve avere P affinchè le aree dei triangoli PAQ e BAC stiano fra loro come 4 e 9 ?
Prima di tutto ho preso i dati noti:
A(0;5),
B(3;-1)
C(6;3)
P∈AB
Q∈AC
PQ//BC
areaPAQ : areaBAC = 4 : 9 ===> 4 areaBAC = 9 areaPAQ
incognita P( ? ; ? )
Pensavo che avendo il rapporto delle aree, e potendo calcolare l'area di BAC (con teorema di Erone), poi avrei avuto anche l'area di PAQ:
area BAC =dopo aver usao la formula di erone mi si trova 15 (ps non scrivo la formula perchè non so inserire i moduli e altri simboli)
quindi l'area di PAQ = (4 * 15) : 9 = 6,7 (approssimato)
poi non so cos'altro fare...potrei impostare p = (x;y)
e poi?
In un triangolo di vertici A(0;5), B(3;-1) e C(6;3) conduci da un punto P del lato AB la retta parallela al lato BC fino a incontrare il lato AC nel punto Q. Quali coordinate deve avere P affinchè le aree dei triangoli PAQ e BAC stiano fra loro come 4 e 9 ?
Prima di tutto ho preso i dati noti:
A(0;5),
B(3;-1)
C(6;3)
P∈AB
Q∈AC
PQ//BC
areaPAQ : areaBAC = 4 : 9 ===> 4 areaBAC = 9 areaPAQ
incognita P( ? ; ? )
Pensavo che avendo il rapporto delle aree, e potendo calcolare l'area di BAC (con teorema di Erone), poi avrei avuto anche l'area di PAQ:
area BAC =dopo aver usao la formula di erone mi si trova 15 (ps non scrivo la formula perchè non so inserire i moduli e altri simboli)
quindi l'area di PAQ = (4 * 15) : 9 = 6,7 (approssimato)
poi non so cos'altro fare...potrei impostare p = (x;y)
e poi?
Risposte
Pensa ai dati che conosci, ovvero:
$P in \bar(AB)$ significa che la retta per $\bar(AB)$ è soddisfatta anche per il punto $P=(x_0,y_0)$
La retta per $\bar(BC)$ ti dà il coeffiente angolare anche della retta per $\bar(PQ)$.
$Q in \bar(AC)$ implica che l'intersezione della retta per $\bar(BC)$ con la retta $\bar(PQ)$
Da qui poi hai tutti i dati per calcolare direttamente le aree e determinare $(x_0,y_0)$ per ottenere ciò che ti serve!
Prova!
$P in \bar(AB)$ significa che la retta per $\bar(AB)$ è soddisfatta anche per il punto $P=(x_0,y_0)$
La retta per $\bar(BC)$ ti dà il coeffiente angolare anche della retta per $\bar(PQ)$.
$Q in \bar(AC)$ implica che l'intersezione della retta per $\bar(BC)$ con la retta $\bar(PQ)$
Da qui poi hai tutti i dati per calcolare direttamente le aree e determinare $(x_0,y_0)$ per ottenere ciò che ti serve!
Prova!
Un piccolo consiglio... quando provi a risolvere esercizi soprattutto di geometria, prova a guardarli sempre da molti punti di vista e prova a riscrivere le ipotesi in molte maniere, di certo poi vedrai ciò che ti serve per farli correttamente!
ti conviene considerare il fatto che, se mandi la parallela ad un lato, i due triangoli sono simili ed i lati direttamente proporzionali (Talete). il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto tra i lati (infatti anche le altezze dei due triangoli sono nella stessa proporzione). quindi il punto P è tale che $APcong2/3AB$. basta considerare le coordinate di A e di B e scrivere le due equazioni che ti dànno le coordinate di P. ciao.
grazie per i consigli, avevo notato che erano simili infatti applicavo il rapporto delle aree ai lati,ma come mi ha detto adaBTTLS il rapporto delle aree è uguale al quadrato del rapporto dei lati..quindi bastava mettere la radice quadrata..
quindi dovrebbe risolversi così:
AP=2/3AB quindi Px=2/3*0+3) = 2 e si trova l'ascissa
Py=2/3*(5-1) =8/3 ma l'ordinata dovrebbe essere 1
poichè non si trova c'è qualcosa di errato..
quindi dovrebbe risolversi così:
AP=2/3AB quindi Px=2/3*0+3) = 2 e si trova l'ascissa
Py=2/3*(5-1) =8/3 ma l'ordinata dovrebbe essere 1
poichè non si trova c'è qualcosa di errato..
non lo so quale formula hai applicato, ma la differenza tra le ordinate è 5+1=6 e non 5-1=4. ciao.
"adaBTTLS":
non lo so quale formula hai applicato, ma la differenza tra le ordinate è 5+1=6 e non 5-1=4. ciao.
non dovrebbe essere il rapporto 2/3 tra la somma delle ascisse e le ordinate di A(0;5) e B(3;-1)?
P dovrebbe essere (2;1)
x=2/3*(0+3) e si trova 2 ok
y=2/3*(5-1) esce 8/3 e non è giusto
y=2/3*(5+1) esce 4 e non è giusto poichè il risultato dovrebbe essere 1...
grrr..che rabbia...
tu così non fai differenza tra ascissa 0 e ordinata diversa da 0 (il 5 che fine ha fatto?)
${[(x-0)=2/3*(3-0)], [(y-5)=2/3*(-1-5)] :}$
non è così?
ciao.
${[(x-0)=2/3*(3-0)], [(y-5)=2/3*(-1-5)] :}$
non è così?
ciao.
ah..non sapevo si dovesse impostare in questo modo...è la prima volta che mi è capitato un problema di questo tipo e la prof non ci aveva spiegato come risolverlo
comunque tantissime grazie..e scusami sono un rompi...
comunque tantissime grazie..e scusami sono un rompi...
prego, per carità...
si può anche fare in un altro modo, anche se con le equazioni non ti sbagli: visto che la distanza del punto P da A è doppia rispetto alla distanza da B, si può fare
$Pbar=((x_A+2*x_B)/3, (y_A+2*y_B)/3)bar=((0+2*3)/3, (5+2*(-1))/3)bar=(2, 1)$
forse ti hanno insegnato così...
ciao.
si può anche fare in un altro modo, anche se con le equazioni non ti sbagli: visto che la distanza del punto P da A è doppia rispetto alla distanza da B, si può fare
$Pbar=((x_A+2*x_B)/3, (y_A+2*y_B)/3)bar=((0+2*3)/3, (5+2*(-1))/3)bar=(2, 1)$
forse ti hanno insegnato così...
ciao.
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