Problema
Verificare analiticamente che le funzioni y = x*log x + x*sin x e y = x*ln x + x*cos x risultano tangenti tra loro e determinare le coordinate del punto di tangenza. Quanto vale l'area del trapezoide formato dal punto A di tangenza, da B in cui la prima curva incontra ulteriormente l'asse x e da C, punto di coordinate positive in cui si secano le due curve?
Grazie
luisa
Modificato da - luisa il 02/07/2003 17:14:23
Grazie
luisa
Modificato da - luisa il 02/07/2003 17:14:23
Risposte
Cominciamo a trovare l'intersezione/i tre le due curve:
x*log(x) + x*sin(x) = x*log(x) + x*cos(x)
x*sin(x) = x*cos(x)
x(sin(x)-cos(x))=0
x=0 è soluzione.
Supponendo x diverso da 0:
sin(x)=cos(x)
sin(x)=sin(pi/2-x)
x = pi/2 - x + 2pi*n
con n intero. Proseguiamo:
2x = pi/2 + 2pi*n
x = pi/4 + pi*n
Quindi le intersezioni sono nei punti x=pi/4+pi*n e x=0.
Calcoliamo le derivate delle due funzioni (sia D l'operatore di derivazione):
y'= D(x*log(x)) + sin(x) + x*cos(x)
y'= D(x*log(x)) + cos(x) - x*sin(x)
Notiamo che in x=0 le due derivate sono diverse.
Ugualgiamo le due derivate:
sin(x)-cos(x) = -x ( sin(x) + cos(x) )
Ora, nei punti d'intersezione diversi da 0, risulta sin(x)=cos(x) e quindi l'ultima uguaglianza diverrebbe:
0 = -2 sin(x)
che è impossibile se x = pi/4 + pi*n.
Quindi non ci sono punti di tangenza...
Modificato da - goblyn il 02/07/2003 20:03:39
x*log(x) + x*sin(x) = x*log(x) + x*cos(x)
x*sin(x) = x*cos(x)
x(sin(x)-cos(x))=0
x=0 è soluzione.
Supponendo x diverso da 0:
sin(x)=cos(x)
sin(x)=sin(pi/2-x)
x = pi/2 - x + 2pi*n
con n intero. Proseguiamo:
2x = pi/2 + 2pi*n
x = pi/4 + pi*n
Quindi le intersezioni sono nei punti x=pi/4+pi*n e x=0.
Calcoliamo le derivate delle due funzioni (sia D l'operatore di derivazione):
y'= D(x*log(x)) + sin(x) + x*cos(x)
y'= D(x*log(x)) + cos(x) - x*sin(x)
Notiamo che in x=0 le due derivate sono diverse.
Ugualgiamo le due derivate:
sin(x)-cos(x) = -x ( sin(x) + cos(x) )
Ora, nei punti d'intersezione diversi da 0, risulta sin(x)=cos(x) e quindi l'ultima uguaglianza diverrebbe:
0 = -2 sin(x)
che è impossibile se x = pi/4 + pi*n.
Quindi non ci sono punti di tangenza...
Modificato da - goblyn il 02/07/2003 20:03:39
Eppure, disegnando le due curve graficamente, si nota la tangenza... Strano!
Preciso poi che log x sta per ln x / ln 10 , quindi per log si intende logaritmo in base 10, mentre per ln si intende sempre logaritmo naturale, in base e.
luisa
Modificato da - luisa il 02/07/2003 22:09:02
Preciso poi che log x sta per ln x / ln 10 , quindi per log si intende logaritmo in base 10, mentre per ln si intende sempre logaritmo naturale, in base e.
luisa
Modificato da - luisa il 02/07/2003 22:09:02
Io ho inteso entrambi i logaritmi naturali. In genere il logaritmo in base 10 lo si indica con Log, mentre log è riservato a quello naturale!
Cmq, ricominciamo coi conti...:
Intanto premetto che nel post precedente ho detto una cacchiata. x=0 è soluzione non accettabile perché non fa parte del dominio. Però il limite delle due funzioni per x che tende a 0 da destra è 0. Quindi almeno geometricamente si può parlare di punto di tangenza in x=0, sempreché le derivate (o meglio, i limiti delle derivate) siano uguali.
Derivate:
y' = [1+ln(x)]Log(e) + sin(x) + x*cos(x)
y' = [1+ln(x)] + cos(x) - x*sin(x)
Il limite per x che tende a 0 da destra è -infinito per entrambe.
Le due curve hanno tangente verticale in x=0, sono quindi tangenti tra di loro. Il punto di tangenza è (0,0).
Intersezione tra le due curve:
x*(Log(x)+sin(x))=x*(ln(x)+cos(x))
Supponiamo x diverso da 0:
[1-Log(e)]*ln(x)=-cos(x)+sin(x)
questa si risolve numericamente o graficamente... risulta C(0.5236;0.1147) circa.
Il punto B è dato da:
Log(x)=-sin(x)
Ancora graficamente si trova B (0.404;0).
In definitiva:
A (0;0)
B (0.404;0)
C (0.5236;0.1147)
Dopodiché non capisco bene come è fatta la figura di cui calcolare l'area...
Cmq, ricominciamo coi conti...:
Intanto premetto che nel post precedente ho detto una cacchiata. x=0 è soluzione non accettabile perché non fa parte del dominio. Però il limite delle due funzioni per x che tende a 0 da destra è 0. Quindi almeno geometricamente si può parlare di punto di tangenza in x=0, sempreché le derivate (o meglio, i limiti delle derivate) siano uguali.
Derivate:
y' = [1+ln(x)]Log(e) + sin(x) + x*cos(x)
y' = [1+ln(x)] + cos(x) - x*sin(x)
Il limite per x che tende a 0 da destra è -infinito per entrambe.
Le due curve hanno tangente verticale in x=0, sono quindi tangenti tra di loro. Il punto di tangenza è (0,0).
Intersezione tra le due curve:
x*(Log(x)+sin(x))=x*(ln(x)+cos(x))
Supponiamo x diverso da 0:
[1-Log(e)]*ln(x)=-cos(x)+sin(x)
questa si risolve numericamente o graficamente... risulta C(0.5236;0.1147) circa.
Il punto B è dato da:
Log(x)=-sin(x)
Ancora graficamente si trova B (0.404;0).
In definitiva:
A (0;0)
B (0.404;0)
C (0.5236;0.1147)
Dopodiché non capisco bene come è fatta la figura di cui calcolare l'area...
L'area è un trapezoide di tre vertici (quelli che hai trovato).
ciao Luisa
Intendo il trapezoide composto dal segmento AC e dal tratto CA della prima curva (ma sarà proprio così?):
Cominciamo a procurarci le due primitive:
F1 = (x^2)/4*[2*Log(x)-Log(e)] - x*cos(x) + sin(x)
F2 = (x^2)/4*[2*ln(x)-1] + x*sin(x) + cos(x)
Osservando la figura e utilizzando le primitive per calcolare le aree:
Area = - [F1(0.404)-F1(0)] + 0.5236*0.1147/2-[F1(0.5236)-F1(0.404)]=
= 0.0518
Le prime parentesi quadre contengono l'area sotto l'asse delle x, il secondo addendo è il triangolo rettangolo di ipotenusa AC e con un cateto sull'asse x, l'ultimo pezzo è l'area che va sottratta al triangolo. F1(x) tende a 0 per x che tende a 0 e quindi ho posto F1(0)=0.
goblyn
Modificato da - goblyn il 03/07/2003 10:55:58
Intendo il trapezoide composto dal segmento AC e dal tratto CA della prima curva (ma sarà proprio così?):
Cominciamo a procurarci le due primitive:
F1 = (x^2)/4*[2*Log(x)-Log(e)] - x*cos(x) + sin(x)
F2 = (x^2)/4*[2*ln(x)-1] + x*sin(x) + cos(x)
Osservando la figura e utilizzando le primitive per calcolare le aree:
Area = - [F1(0.404)-F1(0)] + 0.5236*0.1147/2-[F1(0.5236)-F1(0.404)]=
= 0.0518
Le prime parentesi quadre contengono l'area sotto l'asse delle x, il secondo addendo è il triangolo rettangolo di ipotenusa AC e con un cateto sull'asse x, l'ultimo pezzo è l'area che va sottratta al triangolo. F1(x) tende a 0 per x che tende a 0 e quindi ho posto F1(0)=0.
goblyn
Modificato da - goblyn il 03/07/2003 10:55:58
Grazie davvero di cuore goblyn, il problema continua: preferivo suddividerlo in modo da non farti occupare troppo spazio nel topic.
Si determini il rapporto che sussiste tra l'area del trapezoide e quella dei rettangoloidi formati dalle funzioni circolari sin(x) e cos(x) e si provi che l'area dei triangoli mistilinei, sempre individuati da queste ultime, vale circa 1/3 di quella dei rettangoloidi.
Si determini il rapporto che sussiste tra l'area del trapezoide e quella dei rettangoloidi formati dalle funzioni circolari sin(x) e cos(x) e si provi che l'area dei triangoli mistilinei, sempre individuati da queste ultime, vale circa 1/3 di quella dei rettangoloidi.
Spero di aver individuato bene le figure... non è che sono molto sicuro... comunque:
rettangoloidi:
Area = 2* [ INT[pi/4,pi] (sin(x)dx) - INT[pi/4,pi/2] (cos(x)dx) ] =
= 2*sqrt(2)
triangoli:
Area = 2* INT[0:pi/4] (sin(x)dx) = 2-sqrt(2)
Il rapporto è quindi: (2-sqrt(2))/(2sqrt(2))=0.414 che non è proprio un terzo... Ci vorrebbe una bella figura per capire bene quali sono le figure in gioco!
rettangoloidi:
Area = 2* [ INT[pi/4,pi] (sin(x)dx) - INT[pi/4,pi/2] (cos(x)dx) ] =
= 2*sqrt(2)
triangoli:
Area = 2* INT[0:pi/4] (sin(x)dx) = 2-sqrt(2)
Il rapporto è quindi: (2-sqrt(2))/(2sqrt(2))=0.414 che non è proprio un terzo... Ci vorrebbe una bella figura per capire bene quali sono le figure in gioco!
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