Probl. geom analitica -triangolo-
Verificare che il triangolo A(0,0), B(2,2), C( 1 $-sqrt3$, 1 $+sqrt3$) è equilatero e calcolarne l'area.
Ho operato cosi:
1) ho trovato la misura dei segmenti AB, BC e AC -----> la loro misura è: $sqrt8$ unità
2) ho calcolato il coefficiente angolare della retta AB e inifine tutta l'equazione della retta -------> $y=x$
3) con la formula distanza/punto-retta (rapporto tra l'equazione della retta scritta in forma implicita, dove al posto della x e della y vengono sostituite l'ascissa e l'ordinata del punto preso in considerazione -tutto a numeratore- Mentre a denominatore si trova la somma dei quadrati dei coefficienti dalla x e della y della retta scritta in forma implicita)
[ questo passaggio nn riesco a farlo... trovo difficoltà.. se potete aiutarmi..
4) l'ultimo passaggio : calcolo dell'area del triangolo con la formula..(ma nn avendo la distanza=altezza del triangolo) non posso farlo!
Grazie
Ho operato cosi:
1) ho trovato la misura dei segmenti AB, BC e AC -----> la loro misura è: $sqrt8$ unità
2) ho calcolato il coefficiente angolare della retta AB e inifine tutta l'equazione della retta -------> $y=x$
3) con la formula distanza/punto-retta (rapporto tra l'equazione della retta scritta in forma implicita, dove al posto della x e della y vengono sostituite l'ascissa e l'ordinata del punto preso in considerazione -tutto a numeratore- Mentre a denominatore si trova la somma dei quadrati dei coefficienti dalla x e della y della retta scritta in forma implicita)
[ questo passaggio nn riesco a farlo... trovo difficoltà.. se potete aiutarmi..
4) l'ultimo passaggio : calcolo dell'area del triangolo con la formula..(ma nn avendo la distanza=altezza del triangolo) non posso farlo!
Grazie
Risposte
la retta in forma inplicita e':
x-y+0=0
per il punto 3) a me viene:
$"distanzapuntoretta"= |(1-sqrt(3)-1-sqrt(3) )|/ (sqrt(2))=sqrt(6)$
x-y+0=0
per il punto 3) a me viene:
$"distanzapuntoretta"= |(1-sqrt(3)-1-sqrt(3) )|/ (sqrt(2))=sqrt(6)$
ma scusa... l'eq. forma implicita non è semmai $y-x+0$
per quanto riguarda la dist. punto-retta
le coordinate sono: C(1 $-sqrt3$, 1 $+sqrt3$)
quindi a numeratore...
per quanto riguarda la dist. punto-retta
le coordinate sono: C(1 $-sqrt3$, 1 $+sqrt3$)
quindi a numeratore...
"Benedetta":
ma scusa... l'eq. forma implicita non è semmai $y-x+0$
per quanto riguarda la dist. punto-retta
le coordinate sono: C(1 $-sqrt3$, 1 $+sqrt3$)
quindi a numeratore...
entrambe le forme impliceite sono equivalenti....cmq ti ricordo che ivi il coefficiente a e' quello della x.
la sostanza non cambia, ricontrolla i conti, mi sembra che i miei siano giusti...spero .
Altrimenti ti dimentichi che è un problema di geometria analitica e sfrutti la trigonometria.. oppure semplicemente il teorema di Pitagora:
considera ABC il trianholo e CH l'altezza: per le proprietà dei triangoli equilateri (l'asse di ogni segmento è l'altezza - e anche la bisettrice) AH=BH=AB/2
per il teorema di Pitagora $CH=sqrt((BC)^2-(BH)^2)$ poichè BC=AB e BH=AB/2
$CH=sqrt((AB)^2-((AB)/2)^2)=sqrt((AB)^2-frac{(AB)^2}{4})=sqrt(frac{3(AB)^2}{4})=(AB)/2sqrt(3)$
quindi dato un triangolo equilatero di lato $AB$ l'altezza è sempre $frac{sqrt(3)AB}{2}$
oppure (è la stessa cosa alla fine: dipende da dove la guardi
)
per i teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria:
$CH=BC * sin (alpha)$ dove $alpha$ è l'angolo tra AB e BC: poichè il triangolo è equilatero e tutti gli angoli sono uguali gli angoli sono tutti di 60°,cioè $pi/3$.. ricordando che $sin(pi/3)=sqrt(3)/2$
hai di nuovo $CH=frac{BC sqrt(3)}{2}
data base e altezza trovi l'area del triangolo
considera ABC il trianholo e CH l'altezza: per le proprietà dei triangoli equilateri (l'asse di ogni segmento è l'altezza - e anche la bisettrice) AH=BH=AB/2
per il teorema di Pitagora $CH=sqrt((BC)^2-(BH)^2)$ poichè BC=AB e BH=AB/2
$CH=sqrt((AB)^2-((AB)/2)^2)=sqrt((AB)^2-frac{(AB)^2}{4})=sqrt(frac{3(AB)^2}{4})=(AB)/2sqrt(3)$
quindi dato un triangolo equilatero di lato $AB$ l'altezza è sempre $frac{sqrt(3)AB}{2}$
oppure (è la stessa cosa alla fine: dipende da dove la guardi
)per i teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria:
$CH=BC * sin (alpha)$ dove $alpha$ è l'angolo tra AB e BC: poichè il triangolo è equilatero e tutti gli angoli sono uguali gli angoli sono tutti di 60°,cioè $pi/3$.. ricordando che $sin(pi/3)=sqrt(3)/2$
hai di nuovo $CH=frac{BC sqrt(3)}{2}
data base e altezza trovi l'area del triangolo
L'area di un triangolo qualsiasi,del quale siano note le coordinate dei 3 vertici,si
puo' anche trovare (assai piu' semplicemente ) con la formula:
Area=0.5*valoreassoluto$((x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1))$
Nel nostro caso risulta:
Area=0.5*valoreassoluto$((0,0,1),(2,2,1),(1-sqrt(3),1+sqrt(3),1))=2sqrt(3)$
Se poi si volesse tener conto che l'area di un triangolo equilatero ( di lato L) e' :
$A=(L^2)/4*sqrt(3)$ il risultato sarebbe immediato:
$A=(sqrt(8))^2/4*sqrt(3)=2sqrt(3)$
karl
puo' anche trovare (assai piu' semplicemente ) con la formula:
Area=0.5*valoreassoluto$((x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1))$
Nel nostro caso risulta:
Area=0.5*valoreassoluto$((0,0,1),(2,2,1),(1-sqrt(3),1+sqrt(3),1))=2sqrt(3)$
Se poi si volesse tener conto che l'area di un triangolo equilatero ( di lato L) e' :
$A=(L^2)/4*sqrt(3)$ il risultato sarebbe immediato:
$A=(sqrt(8))^2/4*sqrt(3)=2sqrt(3)$
karl
uau.. dimostrazione?
o motivo per cui accade?
ma cos'è quella? una matrice?
o motivo per cui accade?
ma cos'è quella? una matrice?
Non e' una matrice ma un determinante ,ovvero un numero.Solitamente la matrice
si indica fra parentesi quadre,ma naturalmente si tratta di convenzioni.
La dimostrazione si trova su un qualsiasi testo di matematica per le Superiori
ed e' basata proprio sulla distanza tra retta e punto.Per esercizio puoi rifarla con dati generici e ritrovare così il risultato che ho indicato.
karl
si indica fra parentesi quadre,ma naturalmente si tratta di convenzioni.
La dimostrazione si trova su un qualsiasi testo di matematica per le Superiori
ed e' basata proprio sulla distanza tra retta e punto.Per esercizio puoi rifarla con dati generici e ritrovare così il risultato che ho indicato.
karl
si sospettavo che fosse un determinante.. ma nel qual caso non corrispondeva la notazione.. senza voler azzardare voli di fantasia ho preferito chiedere.. grazie..
ci provo!
ci provo!
Io, piuttosto che applicare quella formulaccia (distanza punto-retta), opererei in modo più intelligente.
Cerco la perpendicolare a $y=x$ passante per $C(1-sqrt(3),1+sqrt(3))$ , che ha coefficiente angolare $m-1$.
Quindi la sua equazione è: $y-(1+sqrt(3))=-(x-(1-sqrt(3)))$ e facendo i conti
$y=-x+1-sqrt(3)+1+sqrt(3)=-x+2$
Non a caso è uscita "facile" l'equazione: $y=-x+2$.
Quindi cerco il punto $P$ di intersezione tra:
$y=x$ (lato)
$y=-x+2$ (perpendicolare al lato dal punto C)
Tale punto ha coordinate $P(1,1)$.
La misura dell'altezza è allora $bar(CP)=sqrt(6)$
Pertanto l'area è $A=1/2sqrt(8)sqrt(6)=8sqrt(3)$
Cerco la perpendicolare a $y=x$ passante per $C(1-sqrt(3),1+sqrt(3))$ , che ha coefficiente angolare $m-1$.
Quindi la sua equazione è: $y-(1+sqrt(3))=-(x-(1-sqrt(3)))$ e facendo i conti
$y=-x+1-sqrt(3)+1+sqrt(3)=-x+2$
Non a caso è uscita "facile" l'equazione: $y=-x+2$.
Quindi cerco il punto $P$ di intersezione tra:
$y=x$ (lato)
$y=-x+2$ (perpendicolare al lato dal punto C)
Tale punto ha coordinate $P(1,1)$.
La misura dell'altezza è allora $bar(CP)=sqrt(6)$
Pertanto l'area è $A=1/2sqrt(8)sqrt(6)=8sqrt(3)$
"zorn":
Pertanto l'area è $A=1/2sqrt(8)sqrt(6)=8sqrt(3)$
$1/2*sqrt8*sqrt6=1/2*2sqrt2*sqrt6=sqrt2sqrt6=sqrt(12)=2sqrt3$
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