Probl geom analitica

[gang88]

Qualcuno può aiutarmi con questo problema?
Date le circonferenze di equazioni x^2+y^2=16 e x^2+y^2=25, siano A e B i punti in cui una semiretta r uscente dall'origine O incontra le due circonferenze. Sia poi P il vertice dell'angolo retto del triangolo rettangolo che ha AB come ipotenusa e che ha i lati paralleli agli assi cartesiani. Scrivi l'equazione del luogo dei punti P al variare della semiretta r.

Grazie a tutti!

[Sk_Anonymous]

I raggi delle due crf. sono r1=4,r2=5 e siano:
M ed N le proiezioni ortogonali di A e B sull'asse x,
a l'angolo di r con l'asse x.
Si ha:
ON=OBcos(a)=5cos(a)
MA=OAsin(a)=4sin(a)
Il modulo dell'ascissa di P e' il modulo
dell'ascissa di B e cioe' |ON|=5|cos(a)|
e il modulo dell'ordinata di P e' il modulo
dell'ordinata di A e cioe' |MA|=4sin(a)|.
Si ha quindi:
|x|=5|cos(a)|,|y|=4|sin(a)|
Eliminando a si ha l'equazione del luogo:
x^2/25+y^2/16=1 che rappresenta una ellisse
riferita ai propri assi e di semiassi 5 e 4.
In realta' questa soluzione non e' altro che
il modo per costruire con riga e compasso una
ellisse di cui siano noti i semiassi.
Ciao.

[gang88]

ciao archimede
non ho capito come da |x|=5|cos(a)|,|y|=4|sin(a)|arrivi ad ottenere il luogo dei punti.potresti scrivermi i passaggi? grazie

[_prime_number]

Siccome è tutto in valore assoluto possiamo elevare al quadrato

x^2=25(cos(a))^2
y^2=16(sen(a))^2

Prendi la prima equazione:si scrive anche x^2=25(1-(sen(a))^2)
Ma (sen(a))^2 è y^2/16

Quindi sostituisci

x^2=25(1-y^2/16) e in un paio di passaggi algebrici ottieni quello che ha ottenuto archimede.

Paola