Probelma triangolo isoscele con limiti e luogo geometrico di punti

[satellitea30]

sia ABC un triangolo isoscele sulla base BC, di misura 2. La bisettrice dell'angolo ABC incontra il lato AC in P.

a. Determina il limite cui tende la misura di BP quando la misura dell’altezza relativa a BC tende a 0.

b. Riferito il triangolo a un conveniente sistema di riferimento cartesiano, determina l'equazione cartesiana del
luogo descritto dal punto P al variare di A.


Buona sera a tutti ho risolto il punto A abbastanza facilmente ponendo X come ampiezza dell'angolo C e X/2 come ampiezza dell'angolo B e alla fine ho fatto il limite per l'angolo che tende a zero cosi:

BP=$lim_(x=>0) (2sin(x))/(sin(π-3x/2))=4/3$

ora il mio problema è il punto B . praticamente ho immaginato di mettere il triangolo isoscele su un piano cartesiano dove il punto B ha coordinate (-1,0) e il punto C (1,0) ho costruito anche una specie di simulazione su geogebra e credo che il punto P al variare dell'altezza del triangolo fa una specie di iperbole ma non so proprio da dove cominciare per trovarla

[@melia]

Ti conviene chiamare gli angoli incogniti $alpha$ e $alpha/2$, trovi l'ordinata di A in funzione di $alpha$ e l'equazione delle rette AC e BP, sempre in funzione di $alpha$. Le metti a sistema e trovi le coordinate di P.
$\{(x = x_p),(y = y_p):}$ sono le coordinate parametriche della curva cercata. Adesso devi eliminare $alpha$ restando con un'unica equazione. Partendo dalle condizioni su $alpha$ devi mettere le condizioni su $x$ e su $y$, a me viene un arco di parabola trasversa.

[satellitea30]

credo di aver capito posso chiedere se le equazioni dei lati ac e bp sono queste ? perche quando le inserisco su geogebra quello con l 'angolo $α/2$ non mi viene la metà dell 'altro angolo.

praticamente io ho trovato che AC = $y=-mx+m$ mentre BP = $ y=(mx/2)+m/2$ ma credo di aver fatto qualcosa di errato

[@melia]

Suppongo che $m$ sia l'ordinata di A, allora AC va bene, mentre BP no, perché P è l'intersezione del lato con la bisettrice, non con la mediana. Devi usare l'angolo in B ed esprimere anche l'ordinata di A in funzione di tale angolo.

[satellitea30]

No m è il coefficiente angolare della retta quello che lei ha chiamato alfa

[@melia]

Fai un calcolo, è anche l’ordinata di A. Però devi riuscire ad esprimere anche l’angolo in B utilizzando lo stesso parametro. Siccome secondo me è più facile esprimere l’ordinata di A in funzione dell’angolo ti consigliavo come parametro l’angolo.

[satellitea30]

Niente da fare non riesco a esprimere la retta BP

[@melia]

Passa per B e ha come coefficiente angolare la tangente dell’angolo CBA, per questo ti consigliavo di usare come parametro l’angolo.

[satellitea30]

Allora resetto tutto perché non riesco più a seguire. Riscrivo le cose in funzione degli angoli che forse è più facile allora: abbiamo due angoli quello in C che è $α$ mentre quello in B è $α/2$ ora se ho capito bene devo scrivere le rette dei lati in funzione di questi angoli. Quindi per la retta AC mi viene $y=-αx+α$ mentre per la retta BC se l'angolo è la metà a me torna sempre $y=(α/2)x+(α/2)$ boh

[satellitea30]

Ok rettifico tutto credo di aver trovato le due rette che passano nei lati. Allora quella che passa su AC dovrebbe essere $y=-tan(α)x+tan(α)$ mentre quella che passa su BP è $y=tan(α/2)x+tan(α/2)$

Ora che faccio trovo il loro punto di intersezione? Sempre se sono corrette

[@melia]

Certo, sono corrette e mettendole a sistema trovi le coordinate di P.

[satellitea30]

Però non so ora mi conviene trasformare tangente Alfa in A?

[satellitea30]

ok allora proseguo come mi hai detto e mi viene cosi:

metto a sistema per trovare il punto di intersezione ovvero le coordinate di x

$-tan(α)x+tan(α)=tan(α/2)+tan(α/2)$

isolando la x se i passaggi sono corretti mi viene $x=(tan(α)-tan(α/2))/(tan(α)+tan(α/2))$

praticamente ora avrei come mi hai scritto precedentemente le coordinate del punto P :
$y=-tan(α)x+tan(α)$

$x=(tan(α)-tan(α/2))/(tan(α)+tan(α/2))$

però credo che ora dovrei riscriverle in formato diverso? cioè dipendenti da A che sarebbe il punto sull' asse y , ho provato a sostituire tan(α) con A ma certo per fare la sostituzione con tan(α/2) mi viene una roba complessa :/ non so se è la strada giusta

[satellitea30]

allora ho risolto .....

ho cancellato il precedente messaggio perchè avevo scritto delle cose sbagliate
vi illustro i passaggi che ho fatto anche se non sono sicuro che questo sia il metodo GIUSTO perchè mi vengono dei calcoli che a mio parere sono troppo complicati , sicuramente ci sarà un metodo più facile ma al momento l ho risolto cosi:

allora ho trovato la x di intersezione delle due rette e la y quindi praticamente queste sono le coordinate del punto P

$ x=(tan(α)-tan(α/2))/(tan(α)+tan(α/2)) $

$ y=-tan(α)x+tan(α) $

poi ho scritto che tangente di α è uguale ad A e ho scritto anche la tangente di α/2 sviluppata nella forma della tangente in modo da poter sostituire la A anche li , però il problema è che mi viene una equazione abbastanza complessa :

$A=y/(1-x)$

$x=((y/(1-x))-(sqrt((1-(1)/sqrt(1+((y)/(1-x))^2))/(1+(1)/sqrt(1+((y)/(1-x))^2)))))/((y/(1-x))+(sqrt((1-(1)/sqrt(1+((y)/(1-x))^2))/(1+(1)/sqrt(1+((y)/(1-x))^2)))))$

e viene $3x^2-y^2+2x-1=0$ il risultato è giusto come indica il libro , però non sono sicuro che sia il metodo migliore.