Probabilità
ciao! non riesco a capire che errore faccio. Praticamente, ci sono 2 modi per risolvere il seguente problema e, svolgendoli entrambi, le soluzioni non coincidono perchè c'è un 3 che mi blocca. potreste aiutarmi a capire?
Problema: in una scatola ci sono 70 palline. Di queste palline, ci sono: 38 bianche, 22 verdi e 10 rosse.Estraendo 3 palline contemporaneamente, calcola la probabilità che escano almeno 2 verdi.
Ecco come l'ho risolto io con i due metodi, quello con la probabilità composta e quello usando le combinazioni non ripetute.
Studio dell'esercizio
almeno 2 palline devono essere verdi, quindi la terna che si deve formare è:
*Verde* *Verde* *NonMiInteressaIlColore* senza contare però l'ordine in cui sono, quindi questa terna è uguale a questa, poichè le palline vengono prese contemporaneamente:
*Verde* *NonMiInteressaIlColore* *Verde* oppure *NonMiInteressaIlColore* *Verde* *Verde*
Metodo con la probabilità composta
poichè ogni evento di estrarre una pallina di un determinato colore è indipendente dagli altri, posso usare la formula della probabilità composta nel caso in cui gli eventi sono indipendenti:
$ p(E_1 \cap E_2\capE_3)=p(E_1) * p(E_2)*p(E_3) $
$ 22/70*21/69*68/68=22/70*21/69 $
cioè, due palline verdi e una che non mi interessa
$68/68$ perchè è l'insieme delle palline rimanenti, cioè $70-2$(palline totali meno palline verdi prese)
Metodo con le combinazioni
casi favorevoli: $ C_(22,2)*(10+38+20)=(D_(n,k))/(k!)*68=D_(22,2)/(2!)*68=(22*21)/(2)*68 $
cioè il caso in cui ci siano 2 verdi moltiplicato per ogni pallina rimanente, cioè 68.
casi possibili: $ C_(70,3)= (70*69*68)/(3*2) $
probabilità: $ P(E)=P_f/P_p=((22*21)/(2)*68)/((70*69*68)/(3*2))=(22*21)/(2)*68*(3*2)/(70*69*68)=(22*21)/(70*69)*3=22/70*21/69*3 $
$ 22/70*21/69 != 22/70*21/69*3 $
quindi i due metodi mi danno soluzioni differenti, che errore ho fatto? help! l'unica cosa che mi viene in mente è che nel metodo con le combinazioni dovrei fare le combinazioni $ C_(70,2) $ ma non saprei spiegarmi il perchè.
se potete aiutarmi a capire dove ho sbagliato ve ne sarei davvero grato
Problema: in una scatola ci sono 70 palline. Di queste palline, ci sono: 38 bianche, 22 verdi e 10 rosse.Estraendo 3 palline contemporaneamente, calcola la probabilità che escano almeno 2 verdi.
Ecco come l'ho risolto io con i due metodi, quello con la probabilità composta e quello usando le combinazioni non ripetute.
Studio dell'esercizio
almeno 2 palline devono essere verdi, quindi la terna che si deve formare è:
*Verde* *Verde* *NonMiInteressaIlColore* senza contare però l'ordine in cui sono, quindi questa terna è uguale a questa, poichè le palline vengono prese contemporaneamente:
*Verde* *NonMiInteressaIlColore* *Verde* oppure *NonMiInteressaIlColore* *Verde* *Verde*
Metodo con la probabilità composta
poichè ogni evento di estrarre una pallina di un determinato colore è indipendente dagli altri, posso usare la formula della probabilità composta nel caso in cui gli eventi sono indipendenti:
$ p(E_1 \cap E_2\capE_3)=p(E_1) * p(E_2)*p(E_3) $
$ 22/70*21/69*68/68=22/70*21/69 $
cioè, due palline verdi e una che non mi interessa
$68/68$ perchè è l'insieme delle palline rimanenti, cioè $70-2$(palline totali meno palline verdi prese)
Metodo con le combinazioni
casi favorevoli: $ C_(22,2)*(10+38+20)=(D_(n,k))/(k!)*68=D_(22,2)/(2!)*68=(22*21)/(2)*68 $
cioè il caso in cui ci siano 2 verdi moltiplicato per ogni pallina rimanente, cioè 68.
casi possibili: $ C_(70,3)= (70*69*68)/(3*2) $
probabilità: $ P(E)=P_f/P_p=((22*21)/(2)*68)/((70*69*68)/(3*2))=(22*21)/(2)*68*(3*2)/(70*69*68)=(22*21)/(70*69)*3=22/70*21/69*3 $
$ 22/70*21/69 != 22/70*21/69*3 $
quindi i due metodi mi danno soluzioni differenti, che errore ho fatto? help! l'unica cosa che mi viene in mente è che nel metodo con le combinazioni dovrei fare le combinazioni $ C_(70,2) $ ma non saprei spiegarmi il perchè.
se potete aiutarmi a capire dove ho sbagliato ve ne sarei davvero grato
Risposte
"Mickael":
*Verde* *Verde* *NonMiInteressaIlColore* senza contare però l'ordine in cui sono, quindi questa terna è uguale a questa, poichè le palline vengono prese contemporaneamente:
il fatto che le palline vengano estratte contemporaneamente non ti deve trarre in inganno....devi considerare anche qui l'ordine di estrazione...se guardi la tua formula ti accorgi che comunque utilizzi una estrazione sequenziale...pensa se estraessi le palline una dopo l'altra ma alla velocità della luce...la velocità di estrazione non è una variabile da inserire nel calcolo...
quindi anche in questo caso dovresti moltiplicare per3
A questo punto entrambi i metodi porterebbero allo stesso risultato
stesso risultato....ma stesso risultato errato.
Infatti la probabilità cercata penso vada calcolata come unione (e quindi somma) dei seguenti eventi:
P(2 verdi)+P(3 verdi)=$3\cdot22/70\cdot21/69\cdot48/68+22/70\cdot21/69\cdot20/68=0,23069$
che coincide con il ragionamento opposto, ovvero
1-P(0 verdi)-P(1 verde)=$1-48/70\cdot47/69\cdot46/68-3\cdot22/70\cdot48/69\cdot47/68=0,23069$
Infatti la probabilità cercata penso vada calcolata come unione (e quindi somma) dei seguenti eventi:
P(2 verdi)+P(3 verdi)=$3\cdot22/70\cdot21/69\cdot48/68+22/70\cdot21/69\cdot20/68=0,23069$
che coincide con il ragionamento opposto, ovvero
1-P(0 verdi)-P(1 verde)=$1-48/70\cdot47/69\cdot46/68-3\cdot22/70\cdot48/69\cdot47/68=0,23069$
allo stesso risultato si può arrivare utilizzando una distribuzione di probablità ad hoc, la ipergeometrica:
$(((22),(2))((48),(1)))/(((70),(3)))+(((22),(3))((48),(0)))/(((70),(3)))=0,23069$
$(((22),(2))((48),(1)))/(((70),(3)))+(((22),(3))((48),(0)))/(((70),(3)))=0,23069$
mi sembra più un topic da Statistica e Probabilità che non da Scuola Secondaria di II grado
3\cdot22/70\cdot21/69\cdot48/68+22/70\cdot21/69\cdot20/68=0,23069 $
Grazie mille davvero per avermi aiutato!
solo non capisco perchè moltiplichi per 3 in entrambi i casi di:
$ 3\cdot22/70\cdot21/69\cdot48/68$
"tommik":
stesso risultato....ma stesso risultato errato.
Infatti la probabilità cercata penso vada calcolata come unione (e quindi somma) dei seguenti eventi:
P(2 verdi)+P(3 verdi)=$3\cdot22/70\cdot21/69\cdot48/68+22/70\cdot21/69\cdot20/68=0,23069$
che coincide con il ragionamento opposto, ovvero
1-P(0 verdi)-P(1 verde)=$1-48/70\cdot47/69\cdot46/68-3\cdot22/70\cdot48/69\cdot47/68=0,23069$
Grazie mille davvero per avermi aiutato!
solo non capisco perchè moltiplichi per 3 in entrambi i casi di:
$ 3\cdot22/70\cdot21/69\cdot48/68$
Perché puoi avere i seguenti eventi
$ bar (V )VV $
$ Vbar (V) V $
$ VVbar (V) $
Tutti equiprobabili
$ bar (V )VV $
$ Vbar (V) V $
$ VVbar (V) $
Tutti equiprobabili
Dovresti calcolare la probabilità di tutti e tre gli eventi e sommarla -> calcolo la probabilità di un evento e moltiplico per 3
$ bar (V )VV $
$ Vbar (V) V $
$ VVbar (V) $
aah capito!! praticamente sono le permutazioni con ripetizione! grazie mille!!
$ Vbar (V) V $
$ VVbar (V) $
aah capito!! praticamente sono le permutazioni con ripetizione! grazie mille!!
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