Principio di identità polinomi
qual' è la definizione?
è questo che si deve tener presente quando si semplifica un' equazione del tipo a(b-x)=0 : cioè quando si divide per a, si giustifica con questo principio?
è questo che si deve tener presente quando si semplifica un' equazione del tipo a(b-x)=0 : cioè quando si divide per a, si giustifica con questo principio?
Risposte
"Tina S.":
qual' è la definizione?
è questo che si deve tener presente quando si semplifica un' equazione del tipo a(b-x)=0 : cioè quando si divide per a, si giustifica con questo principio?
Due polinomi sono uguali se e solo se hanno gli stessi coefficienti:
$P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x + ...$
$Q(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x + ...$
$P(x) = Q(x)$ se $a_0 = b_0$ , $a_1 = b_1$ , ... , $a_n = b_n$
Tu invece hai chiesto come mai $a( b - x ) = 0$ (con $a != 0$ ) è equivalente a $ b - x = 0$ .
La motivazione è più semplice. Si presuppone che tu stia lavorando in $RR$, quindi puoi moltiplicare ambo i membri per $a^(-1)$ :
$a( b - x ) * a^(-1) = 0 * a^(-1)$
$(a^(-1) * a ) * ( b - x ) = 0$
$ b - x = 0$
Detto in breve, due funzioni polinomiali a coefficienti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (o in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]) sono uguali se e solo se esse hanno ordinatamente uguali i loro coefficienti.
Questo principio viene utile quando si ha a che fare con funzioni polinomiali in cui compaiono dei parametri come coefficienti.
Ad esempio, se si vuole che le due funzioni polinomiali [tex]$p(x):=ax^2+3x+4c$[/tex] e [tex]$q(x):=bx+4$[/tex] siano uguali c'è da imporre l'uguaglianza tra i coefficienti delle potenze omologhe, ossia:
[tex]$\begin{cases} 4c=4 &\text{(uguaglianza dei termini noti)} \\ 3=b &\text{(uguaglianza dei coefficienti di $x$)} \\ a=0 &\text{(uguaglianza dei coefficienti di $x^2$)} \end{cases}$[/tex]
[N.B.: Nel polinomio [tex]$q(x)$[/tex] non compare esplicitamente il termine in [tex]$x^2$[/tex]; tuttavia ciò vuol solo dire che il termine in [tex]$x^2$[/tex] ha come coefficiente lo [tex]$0$[/tex]: ciò consente di scrivere la terza uguaglianza del sistema precedente]; risolvendo il sistema si trova [tex]$c=1$[/tex], [tex]$b=3$[/tex], [tex]$a=0$[/tex].
Andando a sostituire in [tex]$p(x)$[/tex] e [tex]$q(x)$[/tex] i coefficienti appena trovati, si ottiene [tex]$p(x)=3x+4=q(x)$[/tex], cioè l'uguaglianza che volevamo.
Questo principio viene utile quando si ha a che fare con funzioni polinomiali in cui compaiono dei parametri come coefficienti.
Ad esempio, se si vuole che le due funzioni polinomiali [tex]$p(x):=ax^2+3x+4c$[/tex] e [tex]$q(x):=bx+4$[/tex] siano uguali c'è da imporre l'uguaglianza tra i coefficienti delle potenze omologhe, ossia:
[tex]$\begin{cases} 4c=4 &\text{(uguaglianza dei termini noti)} \\ 3=b &\text{(uguaglianza dei coefficienti di $x$)} \\ a=0 &\text{(uguaglianza dei coefficienti di $x^2$)} \end{cases}$[/tex]
[N.B.: Nel polinomio [tex]$q(x)$[/tex] non compare esplicitamente il termine in [tex]$x^2$[/tex]; tuttavia ciò vuol solo dire che il termine in [tex]$x^2$[/tex] ha come coefficiente lo [tex]$0$[/tex]: ciò consente di scrivere la terza uguaglianza del sistema precedente]; risolvendo il sistema si trova [tex]$c=1$[/tex], [tex]$b=3$[/tex], [tex]$a=0$[/tex].
Andando a sostituire in [tex]$p(x)$[/tex] e [tex]$q(x)$[/tex] i coefficienti appena trovati, si ottiene [tex]$p(x)=3x+4=q(x)$[/tex], cioè l'uguaglianza che volevamo.
quindi quando semplifico non posso "giustificare" dicendo che l' ho fatto per il principio di ... . ho capito bene??
No.
La semplificazione è giusta per la legge di annullamento del prodotto ("un prodotto è nullo se e solo se almeno un fattore è nullo").
La semplificazione è giusta per la legge di annullamento del prodotto ("un prodotto è nullo se e solo se almeno un fattore è nullo").
Siccome $a$ sembra essere un parametro e l'incognita dovrebbe essere $x$, allora dividere per $a !=0$ è il secondo principio di equivalenza delle equazioni.
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