PRE-corso: perchè è una differenza di due quadrati?

[Baldur1]

Mi sto preparando per l'esame di matematica generale...frequento la facoltà di Economia...

In riferimento a un (facile) esercizio del pre-corso, trovo un paio di problemi...

Esercizio 1, scomporre in fattori il seguente polinomio

3a^6 - 3b^6

Ora, la soluzione dice che ci troviamo difronte ad una differenza di quadrati, perchè a^6 = (a^3)^2

Ma perchè invece non ci troviamo difronte ad una differenza di cubi, dato che a^6 è anche uguale ad (a^2)^3 ?

Forse non ho ben chiara la differenza tra quadrato e cubo...quando all'origine c'è un'esponente maggiore di due o di tre..

Altra cosa, sempre sull'esercizio 1, la soluzione, dice che oltre alla differenza di due quadrati, possiamo anche raccogliere a fattor comune: ma quale delle due opzioni si deve adottare? Raccogliere a fattor comune oppure sfruttare la differenza di due quadrati?? Il libro prima dice che si riconoscono due tipi di scomposizione, e poi parte senza dire niente con il raccoglimento a fattor comune...

grazie mille, e scusate se sono domande banali, ma per uno come me, che sta molto indietro, sono importanti..!!

[Zero87]

"Baldur":grazie mille, e scusate se sono domande banali, ma per uno come me, che sta molto indietro, sono importanti..!!

Non preoccuparti, lo scopo di questo forum (se ho capito bene dopo 4-5 anni che lo frequento ) è quello di aiutare/aiutarsi con i dubbi. Poi nessuna domanda è banale fino a che non si hanno le conoscenze adatte ad affrontarla.

Comunque, tu hai $3a^6-3b^6$ se non ho capito male, dunque $3(a^6-b^6)$.
Ora $a^6$ (e anche $b^6$) sono quadrati, ma anche cubi, così come hai detto tu, a seconda del punto di vista che sia $a^6=(a^3)^2$ o $(a^2)^3$ e lo stesso vale per $b^6$.

Ti faccio un esempio pratico, prendendo il numero $64=2^6$.
- $64=2^6=(2^3)^2=8^2$ quindi non è errato dire che 64 è un quadrato.
- $64=2^6=(2^2)^3=4^3$ quindi non è errato dire che 64 è un cubo.

L'unica cosa è che conviene, quando si ha a che fare con un binomio del tipo $a^x-b^x$ partire dalla potenza più bassa per scomporlo (cioè prima vedere se è una differenza di quadrati, sennò di cubi, sennò di "potenze alla quinta"... e così via ($^1$)), semplicemente perché si ottiene un resto facilmente trattabile (nel caso in cui si può continuare con la scomposizione).

Lo spoiler contiene l'esempio pratico di quanto detto (ho preso il tuo caso, fino ad un certo punto).

Ora l'esercizio dice che siamo di fronte ad una differenza di quadrati, che infatti è vero (così come è vero che è una differenza di cubi). Se lo scomponi come differenza di quadrati (lo scrivo perché suppongo che lo sai) secondo la nota formula
$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
ottieni
$3(a^6-b^6)=3((a^3)^2-(b^3)^2)=3(a^3-b^3)(a^3+b^3)$
e a quel punto hai una differenza e una somma di cubi che si può ulteriormente scomporre.

Se, invece, parti dal fatto che è una differenza di cubi (ripeto: non è sbagliato!)
$3(a^6-b^6)=3((a^2)^3-(b^2)^3)=3(a^2-b^2)(a^4+a^2 b^2+b^4)$
[sperando che ho scritto bene il secondo termine]
A questo punto, però, mentre la prima è una differenza di quadrati facilmente scomponibile, il secondo è più difficile da scomporre.
Per questo conviene partire dalla potenza più bassa, come fa il libro. Però non è sbagliato partire dalla differenza di cubi: è solo più difficile da trattare in seguito.

($^1$) Se $a^x-b^x$ non è differenza di quadrati, ovviamente non è nemmeno differenza di potenze "pari" (cioè di "termini alla quarta" o "alla sesta" e così via...).

[Baldur1]

Ti sei spiegato benissimo.... quindi non dicevo male, è solo perchè giustamente è più facile partire da una potenza più bassa, e cioè il quadrato di binomio...

senti, e invece per quanto riguarda il procedimento da seguire? Siccome si può sia raccogliere a fattor comune, che svolgere il quadrato di binomio, quale dei due posso adottare? Potrei solamente raccogliere o solamente svolgere il quadrato di binomio giusto?

Grazie mille..

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Secondaria II grado.[/xdom]

[Zero87]

"Baldur":Siccome si può sia raccogliere a fattor comune, che svolgere il quadrato di binomio, quale dei due posso adottare? Potrei solamente raccogliere o solamente svolgere il quadrato di binomio giusto?

Personalmente io sono per il raccoglimento.
Però, in generale, per differenze/somme di quadrati e/o cubi ci sono formule apposta.