Potenze razionali di numeri negativi

[fabio.ori.1]

Salve a tutti, sto cercando di comprendere perché:

[size=150]$ (-1)^{\frac{2}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2} $[/size]

Che regola c'è da seguire nel calcolo?
Grazie mille

[mazzarri1]

ciao Fabio!

diciamo che nel piano di Gauss se prendi un angolo di 120 gradi $=(2pi)/3$ e un vettore di modulo unitario hai il numero complesso
$z=e^(i (2 pi)/3) = cos ((2 pi)/3) + i sin ((2 pi)/3) = -1/2 + (i sqrt(3))/2$
e queste sono le tre rappresentazioni (esponenziale, trigonometrica e cartesiana) del tuo numero complesso

fin qui ci siamo?

adesso veniamo al tuo numero

$(-1)^(2/3)$

dalla teoria di numeri complessi dovresti sapere che

$i=sqrt(-1)$ ma allora

$(-1)= i^2$

e quindi

$(-1)^(2/3)=i^(4/3)$

poi dovresti sapere dalla rappresentazione trigonometrica o esponenziale una cosa molto importante cioè che

$i=e^(i pi/2)= cos (pi/2) + i sin (pi/2)$ e se non lo sai convincitene svolgendo due conti
è una cosa che si fa molto frequentemente quella di rappresentare i e le sue potenze in modo esponenziale o trigonometrico
prova per esempio per esercizio tuo a vedere come rappresentare i^2, i^5, i^(-3)

ma allora il tuo numero è $(-1)^(2/3)=i^(4/3)=e^(i 4 pi/6)= e^(i (2 pi)/3)$

e qui vai con quanto di scrivevo all'inizio e il gioco è fatto

tutto chiaro??

ciao!!

[fabio.ori.1]

Grazie mille, tutto chiarissimo!