Potenze ad esponente frazionario e convenzioni
Parto da ciò che do per acquisito.
1) Se si ipotizza che un radicale assoluto $root(n)(a^m)$ si possa esprimere come potenza di $a$ si trova (risolvendo $root(n)(a^m)=a^(x)$) che $root(n)(a^m)=a^(m/n)$
2) Il punto 1) non è sufficiente a giustificare la posizione $root(n)(a^m)=a^(m/n)$ (afferma però che è necessario che la posizione sia questa. Sbaglio?)
3) Affinchè la convenzione $root(n)(a^m)=a^(m/n)$ sia giustificata è necessario che con questa vengano rispettate tutte le proprietà delle potenze ad esponente intero (si deve pertanto verificare una ad una che si conservino).
La domanda, di portata più generale, è:
Come si può essere certi di considerare in questa verifica la totalità delle proprietà interessate dalla convenzione che si va ponendo (o almeno della totalità delle proprietà indipendenti tra loro)?
E’ possibile che a posteriori ci si accorga dell’esistenza di una proprietà non dipendente (in questo caso dele potenze ad esponente intero) da quelle verificate che la convenzione non rispetta?
Altrimenti detto: questa convenzioni sono tali fino a prova contraria o qualche meccanismo ne assicura la validità?
P.S. L’animo mio teme una risposta infausta e ostile del tipo: una operazione è definita attraverso l’assegnazione delle sue proprietà. Allontanate da me questo amaro calice.
Grazie genti
P.S. 2 Essendo il tempo che io posso dedicare alla matematica assai ristretto non si disdegnano pragmatiche risposte del tipo: studia che è meglio riparlarne più avanti.
1) Se si ipotizza che un radicale assoluto $root(n)(a^m)$ si possa esprimere come potenza di $a$ si trova (risolvendo $root(n)(a^m)=a^(x)$) che $root(n)(a^m)=a^(m/n)$
2) Il punto 1) non è sufficiente a giustificare la posizione $root(n)(a^m)=a^(m/n)$ (afferma però che è necessario che la posizione sia questa. Sbaglio?)
3) Affinchè la convenzione $root(n)(a^m)=a^(m/n)$ sia giustificata è necessario che con questa vengano rispettate tutte le proprietà delle potenze ad esponente intero (si deve pertanto verificare una ad una che si conservino).
La domanda, di portata più generale, è:
Come si può essere certi di considerare in questa verifica la totalità delle proprietà interessate dalla convenzione che si va ponendo (o almeno della totalità delle proprietà indipendenti tra loro)?
E’ possibile che a posteriori ci si accorga dell’esistenza di una proprietà non dipendente (in questo caso dele potenze ad esponente intero) da quelle verificate che la convenzione non rispetta?
Altrimenti detto: questa convenzioni sono tali fino a prova contraria o qualche meccanismo ne assicura la validità?
P.S. L’animo mio teme una risposta infausta e ostile del tipo: una operazione è definita attraverso l’assegnazione delle sue proprietà. Allontanate da me questo amaro calice.
Grazie genti
P.S. 2 Essendo il tempo che io posso dedicare alla matematica assai ristretto non si disdegnano pragmatiche risposte del tipo: studia che è meglio riparlarne più avanti.
Risposte
puoi rivolgere la domanda in maniera più semplice?
ciao
ciao
Ci provo.
Nel caso in questione si dimostrano le proprietà delle potenze
$a^(m/n)*a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))$
$(a^(m/n))^(p/q)=a^((m/n)*(p/q))$
ecc.
Come si può essere sicuri che questo insieme di proprietà contenga effettivamente tutte quelle proprietà che è necessario verificare per ammettere la validità della convenzione posta?
Nel caso in questione si dimostrano le proprietà delle potenze
$a^(m/n)*a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))$
$(a^(m/n))^(p/q)=a^((m/n)*(p/q))$
ecc.
Come si può essere sicuri che questo insieme di proprietà contenga effettivamente tutte quelle proprietà che è necessario verificare per ammettere la validità della convenzione posta?
scusami, ma quale è la convenzione posta, forse non avevo capito prima!!!!! Quella di prima ( quella del radicale che si scrive come potenza) non è una convenzione, ma è il risultato di una dimostrazione, così come si dimostrano le proprietà delle potenze che hai scritto sopra!
INDICAZIONI PER L’USO
Onde evitare ingiurie vi informo che
tutto quello che trovate scritto di seguito è seriamente esposto al rischio di errore e può trattarsi di errore madornale.
sono in disaccordo
Offro la mia prospettiva.
Vediamo come si “dimostra” che
$root(n)(a)=a^(1/n)$
Si muove dall’ipotesi che $root(n)(a)=a^(x)$
La rappresentazione che stiamo cercando dev’essere tale da consentirci di conservare le proprietà valide per le potenze ad esponente naturale (delle quali abbiamo una definizione). Siccome le conserveremo si possono usare queste proprietà.
Poiché per $m,ninN; m>0;n>0$ risulta
$a=b\hArr\a^n=b^n$
Si possono elevare entrambi I membri di $root(n)(a)=a^(x)$ alla n-esima potenza
$(root(n)(a))^n=(a^(x))^n$
Da cui per la definizione di radice e per la proprietà della potenza di potenza segue
$a=a^(nx)$
Da cui, per $a!=1$, segue $x=(1/n)$
La serie dei passaggi che portano a $root(n)(a)=a^(1/n)$ non ha inizio dalla definizione di potenza ma da una nostra ipotesi di cui non conosciamo la verità. Questi passaggi mostrano come, se c’è un modo di esprimere $root(n)(a)$ come potenza di $a$ (cioè se l’ipotesi è vera) ed è unico allora è $root(n)(a)=a^(1/n)$ e nulla in più.
Per questa ragione, volendo che si conservino le proprietà formali si devono verificare una ad una.
anche qui non condivido. Quelle proprietà non si dimostrano ma si verificano (una volta che si è data in via ipotetica dignità di potenza a espressioni tipo $a^(m/n)$); si controlla cioè che godano delle proprietà formali che si vogliono conservare.
Ciao e grazie.
Onde evitare ingiurie vi informo che
tutto quello che trovate scritto di seguito è seriamente esposto al rischio di errore e può trattarsi di errore madornale.
"Enrico84":
scusami, ma quale è la convenzione posta, forse non avevo capito prima!!!!! Quella di prima ( quella del radicale che si scrive come potenza) non è una convenzione, ma è il risultato di una dimostrazione,
sono in disaccordo
Offro la mia prospettiva.
Vediamo come si “dimostra” che
$root(n)(a)=a^(1/n)$
Si muove dall’ipotesi che $root(n)(a)=a^(x)$
La rappresentazione che stiamo cercando dev’essere tale da consentirci di conservare le proprietà valide per le potenze ad esponente naturale (delle quali abbiamo una definizione). Siccome le conserveremo si possono usare queste proprietà.
Poiché per $m,ninN; m>0;n>0$ risulta
$a=b\hArr\a^n=b^n$
Si possono elevare entrambi I membri di $root(n)(a)=a^(x)$ alla n-esima potenza
$(root(n)(a))^n=(a^(x))^n$
Da cui per la definizione di radice e per la proprietà della potenza di potenza segue
$a=a^(nx)$
Da cui, per $a!=1$, segue $x=(1/n)$
La serie dei passaggi che portano a $root(n)(a)=a^(1/n)$ non ha inizio dalla definizione di potenza ma da una nostra ipotesi di cui non conosciamo la verità. Questi passaggi mostrano come, se c’è un modo di esprimere $root(n)(a)$ come potenza di $a$ (cioè se l’ipotesi è vera) ed è unico allora è $root(n)(a)=a^(1/n)$ e nulla in più.
Per questa ragione, volendo che si conservino le proprietà formali si devono verificare una ad una.
"Enrico84":
così come si dimostrano le proprietà delle potenze che hai scritto sopra!
anche qui non condivido. Quelle proprietà non si dimostrano ma si verificano (una volta che si è data in via ipotetica dignità di potenza a espressioni tipo $a^(m/n)$); si controlla cioè che godano delle proprietà formali che si vogliono conservare.
Ciao e grazie.
Una rimeditazione.
Forse il solo porre la domanda è ingenuo.
Ammettiamo di non aver verificato una proprietà per il fatto di non conoscerla
allora, proprio perché la si ignora, non si corre il rischio di utilizzarla.
Indipendentemente dal fatto che tale nuova proprietà sia verificata rispetto alla posizione convenzionalmente adottata le proprietà che risultano verificate possono sempre essere utilizzate.
Mi sembra che così se ne esca.
Forse il solo porre la domanda è ingenuo.
Ammettiamo di non aver verificato una proprietà per il fatto di non conoscerla
allora, proprio perché la si ignora, non si corre il rischio di utilizzarla.
Indipendentemente dal fatto che tale nuova proprietà sia verificata rispetto alla posizione convenzionalmente adottata le proprietà che risultano verificate possono sempre essere utilizzate.
Mi sembra che così se ne esca.
io ragionerei così: sappiamo che la potenza non è altro che una moltiplicazione ripetuta e per semplificare una serie di moltiplicazioni si usa appunto la potenza.
la radice quadrata è invece l'operazione inversa alla potenza per questo è lecito secondo me scrivere in quel modo
la radice quadrata è invece l'operazione inversa alla potenza per questo è lecito secondo me scrivere in quel modo
caro Silente, credo che tu sia un po' troppo filosofo per delle banali proprietà delle potenze.
Se $a>0$ e $n in NN$ allora $root(n)(a)=a^(1/n)$ si ricava dal fatto che in matematica ogni operatore, applicato agli stessi numeri, deve ammettere lo stesso risultato indipendentemente dalla stada seguita per applicarlo. Ora se $(root(n)(a))^n=a$, e sappiamo che per le potenze vale la proprietà $(b^n)^m=b^(nm)$, allora anche $(a^(1/n))^n=(a^(n/n))=a^1=a$
Se $a>0$ e $n in NN$ allora $root(n)(a)=a^(1/n)$ si ricava dal fatto che in matematica ogni operatore, applicato agli stessi numeri, deve ammettere lo stesso risultato indipendentemente dalla stada seguita per applicarlo. Ora se $(root(n)(a))^n=a$, e sappiamo che per le potenze vale la proprietà $(b^n)^m=b^(nm)$, allora anche $(a^(1/n))^n=(a^(n/n))=a^1=a$
"@melia":
caro Silente, credo che tu sia un po' troppo filosofo ...
Inevitabile! Non avendo insegnanti ho indagato me stesso: nel cercare di riconoscere nell'operatore dell'addizione il padre di tutte le cose e di tutte le cose il re, ho capito e non ho capito come si garantisce la validità di queste posizioni convenzionali. Non potevo che essere Oscuro.
A parte gli effetti del vino
Amelia non sono sicuro di aver capito.
"@melia":
Se $a>0$ e $n in NN$ allora $root(n)(a)=a^(1/n)$ si ricava dal fatto che in matematica ogni operatore, applicato agli stessi numeri, deve ammettere lo stesso risultato indipendentemente dalla stada seguita per applicarlo. Ora se $(root(n)(a))^n=a$, e sappiamo che per le potenze vale la proprietà $(b^n)^m=b^(nm)$, allora anche $(a^(1/n))^n=(a^(n/n))=a^1=a$
mi sembra esattamente quello che ho scritto io in un post precedente per spiegare perché, IMHO, non si tratti di dimostrazione.
Secondo te questo è giusto?
"Enrico84":
scusami, ma quale è la convenzione posta, forse non avevo capito prima!!!!! Quella di prima ( quella del radicale che si scrive come potenza) non è una convenzione, ma è il risultato di una dimostrazione, così come si dimostrano le proprietà delle potenze che hai scritto sopra!
Non è in questo caso necessario controllare il permanere delle proprietà delle potenze?
In altri casi lo è?
Se sì come si individuano le proprietà da controllare?
Grazie (e scusa il diluvio di domande)
secondo me non è una convenzione è un modo di scrivere, come dice @melia, con latri operatori la stessa espressione. se tu fai $5^5$ o fai $5*5*5*5*5$ ottieni lo stesso risultato
"valerio cavolaccio":
secondo me non è una convenzione è un modo di scrivere, come dice @melia, con latri operatori la stessa espressione. se tu fai $5^5$ o fai $5*5*5*5*5$ ottieni lo stesso risultato
Non ho capito in cosa consista la distinzione tra convenzione e modo discrivere.
Certamente è un modo di scrivere ma ci si deve accertare che questo modo di scrivere sia compatibile con le proprietà delle potenze che applicheremo a questa scrittura.
Anche $a^(m/n)$ è un modo di scrivere ma con $ainRR$ non lo possiamo utilizzare poiché non sempre sono verificate le proprietà delle potenze.
Ad esempio
$(-2)^(4/4)$ non lo accettiamo poiché
$(-2)^(4/4)\=(root(4)(-2))^4$ che non esiste
$(-2)^(4/4)=root(4)((-2)^4)=2
$(-2)^(4/4)=(-2)^1=-2
quindi questa scrittura/convenzione non è utilizzabile.
Da qui le domande che ho posto ad @melia.
Ciao
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